Kako rešite sistem x ^ 2 + y ^ 2 = 9 in x-3y = 3?

Odgovor:

Za ta sistem obstajata dve rešitvi: točke #(3,0)# in #(-12/5, -9/5)#.

Pojasnilo:

To je zanimiv sistem problemov enačb, ker daje več kot eno rešitev na spremenljivko.

Zakaj se to zgodi, je zdaj mogoče analizirati. Prva enačba je standardni obrazec za krog s polmerom #3#. Druga je rahlo neurejena enačba za črto. Očiščeno, bi bilo videti tako:

#y = 1/3 x - 1 #

Seveda, če upoštevamo, da bo rešitev za ta sistem točka, kjer se vrstica in krog križata, ne smemo biti presenečeni, če se naučimo, da bosta obstajali dve rešitvi. Ena, ko črta vstopi v krog, in druga, ko zapusti. Oglejte si ta graf:

graf {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Najprej začnemo z manipulacijo druge enačbe:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

To lahko vstavimo neposredno v prvo enačbo, za katero bomo rešili # y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Očitno ima ta enačba dve rešitvi. Ena za #y = 0 # in drugo za # 9 + 5y = 0 # kar pomeni #y = -9 / 5 #.

Zdaj lahko rešimo za # x # vsakega od njih # y # vrednosti.

Če # y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Če #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Naša dva rešitev sta točki: #(3,0)# in #(-12/5, -9/5)#. Če pogledate nazaj na graf, lahko vidite, da ti očitno ustrezata dvema točkama, pri katerih je črta prečkala krog.