Kakšna je splošna formula za diskriminant polinoma stopnje n?

Odgovor:

Oglejte si razlago …

Pojasnilo:

Diskriminant polinoma #f (x) # stopnje # n # lahko opišemo v smislu determinante Sylvesterjeve matrike. t #f (x) # in #f '(x) # kot sledi:

Glede na:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Imamo:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

Sylvesterjeva matrika #f (x) # in #f '(x) # je # (2n-1) xx (2n-1) # matriko, ki je oblikovana z uporabo njihovih koeficientov, podobno kot v naslednjem primeru za # n = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_1), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Potem diskriminant # Delta # je podan v smislu determinante Sylvesterjeve matrike po formuli:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Za # n = 2 # imamo:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(kar se vam v obrazcu morda zdi bolj prepoznavno) #Delta = b ^ 2-4ac #)

Za # n = 3 # imamo:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3), 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#barva (bela) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Diskriminanti za kvadratne (# n = 2 #) in cubics (# n = 3 #) so najbolj uporabne v tem, da vam točno povejo, koliko resničnih, ponavljajočih ali nerealnih kompleksnih ničel ima polinom.

Interpretacija diskriminanta za polinome višjega reda je bolj omejena, vendar vedno ima lastnost, da je polinom ponovil ničle, če in samo če je diskriminant nič.

#color (bela) () #

nadaljnje branje

Glejte