Prosim, pomagajte mi pri tem, kako to storiti?

Odgovor:

#k = 3 #

Pojasnilo:

Uporaba lastnosti eksponentov # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # in # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, imamo

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3 k) * 3 ^ k #

Tako #13!# je deljivo s # 24 ^ k # če in samo če #13!# je deljivo s # 2 ^ (3k) # in je deljivo s # 3 ^ k #.

Lahko povemo največjo moč #2# s katerim #13!# je deljivo s, če pogledamo njegove dejavnike, ki so deljivi s #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Ker nobeden od nenavadnih dejavnikov ne prispeva nobenih dejavnikov #2#, imamo

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

kje # m # je celo število, ki ni deljivo s #2#. Tako vemo #13!# je deljivo s # 2 ^ (3k) # če in samo če #2^10# je deljivo s # 2 ^ (3k) #, kar pomeni # 3k <= 10 #. Kot # k # je celo število, to pomeni #k <= 3 #.

Nato lahko pogledamo, na katere dejavnike #13!# so deljivi s #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Kot ni drugih dejavnikov #13!# prispevajo vse dejavnike #3#, to pomeni

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

kje # n # je celo število, ki ni deljivo s #3#. Tako vemo #3^5# je deljivo s # 3 ^ k #, kar pomeni #k <= 5 #.

Največje nenegativno celo število, ki zadovoljuje omejitve #k <= 3 # in #k <= 5 # je #3#, ki nam daje odgovor # k = 3 #.

Kalkulator bo to preveril #(13!)/24^3 = 450450#, medtem ko #(13!)/24^4=18768.75#