Kakšna je enačba črte, ki je normalna na polarno krivuljo f (theta) = - 5theta - sin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) pri theta = pi?

Odgovor:

Vrstica je #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Pojasnilo:

Ta zverina enačbe izhaja iz nekoliko dolgega procesa. Najprej bom opisal korake, po katerih se bo izpeljava nadaljevala in nato izvedla te korake.

Dali smo funkcijo v polarnih koordinatah, #f (theta) #. Lahko vzamemo izpeljanko, #f '(theta) #, ampak da bi dejansko našli črto v kartezičnih koordinatah, bomo potrebovali # dy / dx #.

Lahko najdemo # dy / dx # z naslednjo enačbo:

# dy / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #

Potem bomo ta vzpon vtaknili v standardno obliko kartezijske črte:

#y = mx + b #

In vstavite kartezične pretvorjene polarne koordinate naše zanimivosti:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) sin (theta) #

Nekaj stvari, ki bi morale biti takoj očitne in nam bodo prihranile čas. Vzemimo črto, ki se dotika točke #theta = pi #. To pomeni da #sin (theta) = 0 # torej …

1) Naša enačba za # dy / dx # bo dejansko:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Naše enačbe za kartezijske koordinate naše točke bodo:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

Začnemo dejansko reševati problem, zato je naš prvi poslovni red ugotovitev #f '(theta) #. Ni težko, samo dva preprosta izvedenca z verigo veljajo za dva:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 sek ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

Zdaj želimo vedeti #f (pi) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

In #f '(pi) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 sek ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

S tem v roki, smo pripravljeni določiti naše pobočje:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

To lahko vključimo kot # m # v #y = mx + b #. Spomnimo se, da smo to prej ugotovili # y = 0 # in #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Lahko združimo naše predhodno določene # m # z našimi novo določenimi # b # da navedemo enačbo za črto:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Delci se vržejo preko trikotnika z enega konca vodoravne podlage in paša na vrhu je na drugem koncu baze. Če sta alfa in beta osnovni kot in theta je kot projekcije, Dokaži, da tan theta = tan alfa + tan beta?

Glede na to, da je delec vrnjen s kotom projekcije theta preko trikotnika DeltaACB z enega od njegovih koncev A vodoravne osnove AB, ki je poravnan vzdolž osi X, in končno pade na drugi konec Bof podlage, ki pase vozlišče C (x, y) Naj bo u hitrost projekcije, T čas poleta, R = AB vodoravno območje in t čas, ki ga mora delček doseči pri C (x, y) Horizontalna komponenta hitrosti projekcije - > ucostheta Navpična komponenta hitrosti projekcije -> usintheta Če upoštevamo gibanje pod gravitacijo brez zračnega upora, lahko zapišemo y = usinthetat-1/2 gt ^ 2 ..... [1] x = ucosthetat ................... [2] kombiniranje [1]

Kakšna je enačba tangentne linije r = tan ^ 2 (theta) - sin (theta-pi) pri theta = pi / 4?

R = (2 + sqrt2) / 2 r = tan ^ 2 theta - sin (theta - pi) pri pi / 4 r = tan ^ 2 (pi / 4) - sin (pi / 4 -pi) r = 1 ^ 2 - sin ((- 3pi) / 4) r = 1-sin ((5pi) / 4) r = 1 - (- sqrt2 / 2) r = 1 + sqrt2 / 2 r = (2 + sqrt2) / 2

Kako pretvorite r = 3theta - tan theta v kartezijsko obliko?

X² + y² = (3tan ^ -1 (y / x) - y / x) ²; x> 0, y> 0 Oglejte si razlago za druge dve enačbi r = 3theta - tan (theta) Namestnik sqrt (x² + y²) za r: sqrt (x² + y²) = 3theta - tan (theta) Square obe strani : x² + y² = (3 theta - tan (theta)) ² Zamenjaj y / x za tan (theta): x² + y² = (3theta - y / x) ²; x! = 0 Zamenjajte tan ^ -1 (y / x) za theta. OPOMBA: Moramo se prilagoditi za theta, ki se vrne s funkcijo inverzne tangente na podlagi kvadranta: Prvi kvadrant: x² + y² = (3tan ^ -1 (y / x) - y / x) ²; x> 0, y> 0 Drugi in tretji kvadra