Odgovor:
Namig 1: Recimo, da je enačba # x ^ 2 + x-u = 0 # z # u # celo število ima celoštevilčno rešitev # n #. Pokaži to # u # je celo.
Pojasnilo:
Če # n # je rešitev, da je celo število # m # tako, da
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
Kje #nm = u # in # m-n = 1 #
Toda druga enačba to pomeni #m = n + 1 #
Zdaj, oboje # m # in # n # so cela števila, torej ena od # n #, # n + 1 # je celo in #nm = u # je celo.
Predlog
Če # u # je liho celo število, nato enačba # x ^ 2 + x - u = 0 # nima rešitve, ki je celo število.
Dokaz
Recimo, da obstaja celoštevilska rešitev # m # enačbe:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
kje # u # je liho celo število. Preučiti moramo dva možna primera:
# m # je liho; ali
# m # je celo.
Najprej preučimo primer, kjer # m # je liho, potem obstaja celo število # k # tako, da:
# m = 2k + 1 #
Zdaj, od takrat # m # je koren naše enačbe, mora biti:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
In imamo protislovje, kot # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # je celo, vendar # u # je čudno.
Nato preučimo primer, kjer # m # je celo, potem obstaja celo število # k # tako, da:
# m = 2k #
Podobno, od # m # je koren naše enačbe, mora biti:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
In spet imamo protislovje, kot # 2 (2k ^ 2 + k) # je celo, vendar # u # je čudno.
Tako smo dokazali, da ni celoštevilske rešitve enačbe # x ^ 2 + x - u = 0 # kje # u # je liho celo število.
Zato je predlog dokazan. QED
Odgovor:
Glej spodaj.
Pojasnilo:
Če # x ^ 2 + x-u = 0 # potem
#x (x + 1) = u # potem, če # x # je celo število, #x (x + 1) # je celo protislovje, ker # u # s hipotezo je čudno.
