Naj bo G ciklična skupina in G = 48. Kako najdete vse podskupine skupine G?

Odgovor:

Podskupine so vse ciklične, z razvrstitvijo naročil #48#

Pojasnilo:

Vse podskupine ciklične skupine so same po sebi ciklične, z ureditvami, ki so delitelji vrstnega reda skupine.

Da bi ugotovili, zakaj, recimo # G = <a> # je cikličen z redom # N # in #H sube G # je podskupina.

Če # a ^ m v H # in # a ^ n v H #, potem je tako # a ^ (pm + qn) # za poljubna cela števila #p, q #.

Torej # a ^ k v H # kje #k = GCF (m, n) # in oboje # a ^ m # in # a ^ n # so v # <a ^ k> #.

Še posebej, če # a ^ k v H # z #GCF (k, N) = 1 # potem #H = <a> = G #.

Tudi to ne #mn = N # potem # <a ^ m> # je podskupina # G # z naročilom # n #.

Lahko sklepamo:

• # H # nima več kot #1# generator.
• Vrstni red # H # je dejavnik # N #.

V našem primeru #N = 48 # in podskupine so izomorfne:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

biti:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #