Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Bi lahko rešili to?

Odgovor:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Pojasnilo:

Imamo:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (1 - cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx-2 (cosx-cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x-1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1

Let #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

To vidimo #u = -1 # je dejavnik. Uporabimo sintetično delitev

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

Enačba # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # lahko rešimo s kvadratno formulo.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 ali -0.309 #

Od #cosx = u #, dobimo #x = pi / 5, (3pi) / 5 # in # pi #.

Kje # n # je celo število.

Graf # y_1 = sin ^ 4x-cos ^ 4x # in # y_2 = cos (3x) # potrjuje, da so rešitve presečišča.

Upajmo, da to pomaga!

Odgovor:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Pojasnilo:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, ali

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Enotni krog in lastnost cos, give ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2 kpi #

a. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Če je k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Če je k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Če je k = 0 -> #x = - pi / 5 #, ali #x = (9pi) / 5 # (co-terminal)

Če je k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

V zaprtem intervalu 0, 2pi so odgovori:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Preverite s kalkulatorjem.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = - 0,428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0.119 - 0.428 = - 309 #. Dokazano

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = 0.428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0,309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0,309 #. Dokazano

Odgovor:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # nrarrZ #

Pojasnilo:

# rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# rarr-cos2x = cos3x #

# rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

Bodisi #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # nrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi # # nrarr #

Odgovor:

Splošna rešitev ne zahteva formule trojnega kota in je

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # ali # x = 36 ^ circ + 72 ^ kroga k #

za celo število # k #.

Pojasnilo:

Ne maram brati odgovorov drugih ljudi, preden rešim vprašanje sam. Ampak izrazit odgovor za to je izskočil. Med svojim hitrim pogledom nisem mogel opaziti, da se mi je zdelo precej zapleteno, kar se mi zdi kot relativno enostavno vprašanje. Poskusil bom.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Na Sokratu sem že nekaj tednov, in to se pojavlja kot moja tema: splošna rešitev #cos x = cos a # je #x = pm a + 360 ^ circ k quad # za celo število # k. #

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# 2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Znake vzamemo ločeno. Plus prvi:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Minus naslednji.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ kroga k #

Če te podrobno preberete, boste morda mislili, da naredim napako v načinu, kako manipuliram # k #. Ampak od takrat # k # se razteza čez vsa cela števila, kot so #k za -k # in #k do k + 1 # so dovoljene in jih vstavim, da bodo znaki #+# ko so lahko.

Preverite:

Izberi par, ki ga boš preveril. Dovolj sem dovolj dober, da vem #cos 36 ^ circ # je polovica Zlatega razmerja, toda tega ne bom iztočila natančno, samo jih spravite v Wolfram Alpha in se prepričajte.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #