Kaj pomeni meja neskončnega zaporedja?

Meja neskončnega zaporedja nam pove dolgoročno vedenje.

Glede na zaporedje realnih števil # a_n #, to je meja #lim_ (n do oo) a_n = lim a_n # je definirana kot enotna vrednost, ki se prilagodi zaporedju (če se približa kateri koli vrednosti), ko naredimo indeks # n # večji. Meja zaporedja ne obstaja vedno. Če se to zgodi, se pravi, da je zaporedje konvergentna drugače naj bi bilo divergentno.

Dva preprosta primera:

Razmislite o zaporedju # 1 / n #. To je enostavno videti, da je omejitev #0#. Dejansko, glede na vsako pozitivno vrednost blizu #0#, lahko vedno najdemo dovolj veliko vrednost # n # tako, da # 1 / n # je manjša od te dane vrednosti, kar pomeni, da mora biti njena meja manjša ali enaka nič. Prav tako je vsak člen zaporedja večji od nič, zato mora biti omejitev večja ali enaka nič. Zato je #0#.
Vzemite konstantno zaporedje #1#. To je za vsako dano vrednost # n #, izraz # a_n # zaporedja je enako #1#. Jasno je, da ne glede na velikost # n # vrednost zaporedja je #1#. Torej je meja #1#.

Za bolj strogo definicijo pustite # a_n # biti zaporedje realnih števil (to je, #forall n v NN: a_n v RR #) in #epsilon v RR #. Potem številko # a # pravijo, da je meja zaporedja # a_n # če in samo če:

#forall epsilon> 0 obstaja N v NN: n> N => | a_n - a | <epsilon #

Ta opredelitev je enakovredna zgornji neformalni opredelitvi, razen da za mejo ni treba uvesti enotnosti (lahko jo izpeljemo).

Prvi in drugi izraz geometrijskega zaporedja sta prvi in tretji člen linearnega zaporedja. Četrti člen linearnega zaporedja je 10 in vsota prvih petih izrazov je 60 Najdite prvih pet členov linearnega zaporedja?

{16, 14, 12, 10, 8} Tipično geometrijsko zaporedje lahko predstavimo kot c_0a, c_0a ^ 2, cdot, c_0a ^ k in tipično aritmetično zaporedje kot c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + kDelta Klicanje c_0 a kot prvega elementa za geometrijsko zaporedje, ki ga imamo {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "Prvi in drugi od GS sta prvi in tretji LS"), (c_0a + 3Delta = 10- > "Četrti člen linearnega zaporedja je 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "Vsota prvih petih izrazov je 60"):} Reševanje za c_0, a, Delta dobimo c_0 = 64/3 , a = 3/4, Delta = -2 in prvih pet elementov za aritmetično zaporedj

Prvi štirje členi aritmetičnega zaporedja so 21 17 13 9 Najdi v smislu n, izraz za n-ti člen tega zaporedja?

Prvi izraz v zaporedju je a_1 = 21. Skupna razlika v zaporedju je d = -4. Imeti morate formulo za splošni izraz, a_n, v smislu prvega izraza in skupne razlike.

Prvi izraz geometrijskega zaporedja je 4, množitelj ali razmerje pa je –2. Kakšna je vsota prvih 5 pogojev zaporedja?

Prvi izraz = a_1 = 4, skupno razmerje = r = -2 in število izrazov = n = 5 Vsota geometrijskih serij do n tems je podana s S_n = (a_1 (1-r ^ n)) / (1-r) ) Kjer je S_n vsota za n izrazov, je n število izrazov, a_1 je prvi izraz, r skupno razmerje. Tukaj a_1 = 4, n = 5 in r = -2 pomeni S_5 = (4 (1 - (- 2) ^ 5)) / (1 - (- 2)) = (4 (1 - (- 32))) / (1 + 2) = (4 (1 + 32)) / 3 = (4 (33)) / 3 = 4 * 11 = 44 Zato je vsota 44