Dokaži, da funkcija ni omejena v x_0 = 0? + Primer

Odgovor:

Glej pojasnilo.

Pojasnilo:

Po Heineovi definiciji mejne vrednosti funkcije imamo:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Torej, da pokažem, da ima funkcija Št omejitev na # x_0 # najti moramo dva zaporedja # {x_n} # in # {bar (x) _n} # tako, da

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) _n = x_0 #

in

#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) #

V danem primeru so lahko takšne sekvence:

# x_n = 1 / (2 ^ n) # in #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Oba zaporedja se približata # x_0 = 0 #, glede na formulo funkcije pa imamo:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

ker so vsi elementi v # x_n # so v #1,1/2,1/4,…#

in za #bar (x) _n # imamo:

#f (bar (x) _1) = f (1) = 2 #

ampak za vse #n> = 2 # imamo: #f (bar (x) _n) = 1 #

Torej za #n -> + oo # imamo:

#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)

Obe sekvenci se pokrivata # x_0 = 0 #, vendar so omejitve (*) in (**) NE enaka, tako meja #lim_ {x-> 0} f (x) # ne obstaja.

QED

Opredelitev omejitve najdete na Wikipediji na naslovu:

Odgovor:

Tukaj je dokaz z uporabo negacije opredelitve obstoja meje.

Pojasnilo:

Kratka različica

#f (x) # se ne more približati eni sami številki # L # ker v vsakem soseski #0#, funkcija # f # prevzame vrednote, ki se med seboj razlikujejo #1#.

Torej, ne glede na to, za kaj nekdo predlaga # L #, obstajajo točke # x # blizu #0#, kje #f (x) # je vsaj #1/2# oddaljena od # L #

Dolga različica

#lim_ (xrarr0) f (x) # obstaja, če in samo če

obstaja številka, # L # za vse #epsilon> 0 #, obstaja a #delta> 0 # tako, da za vse # x #, # 0 <abs (x) <delta # pomeni #abs (f (x) -L) <epsilon #

Negacija tega je:

#lim_ (xrarr0) f (x) # ne obstaja, če in samo če

za vsako številko, # L # obstaja #epsilon> 0 #, tako da za vse #delta> 0 # obstaja # x #, tako da # 0 <abs (x) <delta # in #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Glede na številko # L #, Bom pustil #epsilon = 1/2 # (vse manjše # epsilon # tudi)

Zdaj je pozitivno # delta #, Moram pokazati, da obstaja # x # z # 0 <absx <delta # in #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (spomnite se tega #epsilon = 1/2 #)

Glede na pozitivno # delta #, sčasoma # 1/2 ^ n <delta # tako da obstaja # x_1 # z #f (x_1) = 2 #.

Obstaja tudi element # x_2 v RR- {1, 1/2, 1/4,… } # z # 0 <x_2 <delta # in #f (x_2) = 1 #

Če #L <= (1/2) #, potem #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Če #L> = (1/2) #, potem #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #