Uporabite a) in b), da bi dokazali, da je hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

Iz vsega kar govorite tam, izgleda, da bi morali to pokazati #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. Izgleda, da karkoli ste dobili od tega vprašanja, je zmedeno glede definicije # hatT_L #.

Na koncu bomo to dokazali

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

daje

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

in ne #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. Če hočemo, da je vse skladno, potem, če #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, to bi moralo biti to # hatD, hatx = bb (-1) #. Popravil sem vprašanje in to že storil.

Iz dela 1 smo to pokazali za to opredelitev (to #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

Od #f (x_0 - L) # je lastno stanje # hatT_L #, takojšnja oblika, ki pride na misel, je eksponentni operater # e ^ (LhatD) #. To intuitiramo #hatD = + ihatp_x // ℏ #, in pokazali bomo, da je to res.

Spomnimo se, da smo v dokazu, prikazanem v 1. delu, napisali:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

in tam bi jo morali uporabiti. Vse kar moramo storiti je Taylor se razširi eksponencialnega operaterja in dokazati, da zgoraj navedeni dokaz še vedno velja.

To je tudi tukaj prikazano v podrobnostih. Razširil sem jo, da bi bil bolj temeljit …

# e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = sum_ (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (hatD) ^ n #

Daj to # L # je konstanta, lahko to določimo iz komutatorja. # hatx # lahko vstopijo in niso odvisne od indeksa. Zato:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

Sedaj smo to predlagali #hatD = ihatp_x // ℏ #, in to bi bilo smiselno, ker vemo:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = prekliči (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

tako da # hatx, hatp_x = iℏ #. To bi pomenilo, da dokler #hatT_L = e ^ (LhatD) #, lahko končno dobimo CONSISTENT definicijo v obeh delih problema in dobimo:

#color (modra) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = barva (modra) (1) #

Iz tega nadalje razvijamo komutator:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Zdaj, vemo # hatx, hatp_x #, vendar ne nujno # hatx, hatp_x ^ n. To se lahko prepričate

# d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

in to

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

tako da:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) #

# = (-iℏ) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = (-iℏ) ^ n {preklic (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - preklic (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))} #

# = (-iℏ) ^ (n-1) (- iℏ) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

To prepoznavamo # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #. Tako

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, pod pogojem #n> = 1 #.

Iz tega najdemo:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)} #

kje, če ocenjujete #n = 0 # izraz, bi morali videti, da gre na nič, zato smo ga izpustili. Nadaljujemo:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) ((iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1)) #

Tukaj preprosto poskušamo ponovno narediti to kot eksponencialna funkcija.

# = iℏ ((iL) / ℏ) sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(skupinski izrazi)

# = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(ocenite zunaj)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)) #

(če # n # se začne pri nič # (n-1) #ta izraz postane # n #obdobje.)

Zato smo končno dobili:

# => barva (modra) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = barva (modra) (- LhatT_L) #

In spet se vrnemo k prvotnemu komutatorjuto

# hatx, hatT_L = -LhatT_L barva (modra) (sqrt "") #

Nazadnje, pokažimo to # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n) !)) #

Če to izrecno zapišemo, lahko vidimo, da deluje:

# = barva (modra) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +… - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +… #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +… #

# = barva (modra) (sum_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

in od takrat # hatD # vedno vozi sam s seboj, # hatD ^ n, hatD = 0 # in zato,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (modra) (sqrt "") #