Dokaži, da so krivulje x = y ^ 2 in xy = k rezane pod pravim kotom, če 8k ^ 2 = 1?

Odgovor:

#-1#

Pojasnilo:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

obe krivulji sta

#x = y ^ 2 #

in

#x = sqrt (1/8) / y ali x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

za krivuljo #x = y ^ 2 #, derivat glede na # y # je # 2y #.

za krivuljo #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, derivat glede na # y # je # -sqrt (1/8) y ^ -2 #.

točka, na kateri se dve krivulji srečata, je kdaj # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

od #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

točka, na kateri se krivulja srečata, je # (1/2, sqrt (1/2)) #

kdaj #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

gradient tangente na krivuljo #x = y ^ 2 # je # 2sqrt (1/2) ali 2 / (sqrt2) #.

kdaj #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

gradient tangente na krivuljo #xy = sqrt (1/8) # je # -2sqrt (1/8) ali -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Iščemo stanje # k # tako, da krivulje # x = y ^ 2 # in # xy = k # "rez pod pravim kotom". Matematično to pomeni, da morajo biti krivulje pravokotne, kar pomeni, da na vseh točkah tangente na krivulje pri kaj točka je pravokotna.

Če preučimo družino krivulj za različne vrednosti # k # dobimo:

Takoj ugotavljamo, da iščemo eno točko, kjer sta tangenta pravokotna, tako da krivulje na splošno niso pravokotne na vseh točkah.

Najprej poiščimo samski koordinirati, # P #presečišča, ki je istočasna rešitev:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Če nadomestimo Eq A v B, dobimo:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = koren (3) (k) #

In tako določimo koordinate križišč:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Potrebujemo tudi gradijente tangent na tej koordinati. Za prvo krivuljo:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Torej gradient tangente, # m_1 #, na prvo krivuljo pri # P # je:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Podobno za drugo krivuljo:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Torej gradient tangente, # m_2 #, na drugo krivuljo na # P # je:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

= -k ^ (- 1/3) #

Če sta ti dve tangenti pravokotni, potem zahtevamo, da:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Vodenje do danega rezultata:

# 8k ^ 2 = 1 t QED

In s to vrednostjo # k #