Kakšen je logaritem negativnega števila?

Logaritmi negativnih števil niso definirani v realnem številu, tako kot kvadratne korenine negativnih števil v realnih številah niso definirane. Če se od vas pričakuje, da boste našli dnevnik negativnega števila, bo odgovor "nedoločen" v večini primerov zadostoval.

To je če je mogoče oceniti eno, bo odgovor kompleksno število. (številka obrazca #a + bi #, kje #i = sqrt (-1) #)

Če ste seznanjeni s kompleksnimi številkami in se počutite udobno, da delate z njimi, potem preberite.

Prvič, začnimo s splošnim primerom:

#log_b (-x) =? #

Uporabili bomo pravilo o spremembi osnove in pretvorili v naravne logaritme, da bomo kasneje olajšali stvari:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Upoštevajte, da #ln (-x) # je isto kot #ln (-1 * x) #. Lastnost dodatek logaritmov lahko izkoristimo in ta del ločimo na dva ločena dnevnika:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Zdaj je edini problem ugotoviti, kaj #ln (-1) # je. Na prvi pogled bi bilo morda videti kot nemogoče vrednotenje, vendar pa je zelo znana enačba, znana kot Eulerjeva identiteta, ki nam lahko pomaga.

Eulerjeva identiteta določa:

# e ^ (ipi) = -1 #

Ta rezultat izvira iz razširitev sinusov in kosinusov. (To ne bom razložil preveč poglobljeno, toda če vas zanima, je tukaj lepa stran, ki pojasnjuje malo več)

Za zdaj samo vzemimo naravni dnevnik obeh strani Eulerove identitete:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

Poenostavljeno:

#ipi = ln (-1) #

Torej, zdaj vemo, kaj #ln (-1) # je, lahko nadomestimo nazaj v našo enačbo:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Zdaj imate formulo za iskanje dnevnikov negativnih števil. Torej, če želimo oceniti nekaj podobnega # log_2 10 #, lahko preprosto vključimo nekaj vrednosti:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #