Upoštevajte kvadratno enačbo # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, ki je na levi strani tudi popoln kvadratni trinom. Faktoring za reševanje:
# => (x + 2) (x + 2) = 0 #
# => x = -2 in -2 #
Dve identični rešitvi! Spomnimo se, da so rešitve kvadratne enačbe x odseki na ustrezni kvadratni funkciji.
Torej, rešitve enačbe # x ^ 2 + 5x + 6 = 0 #na primer, bodo presledki x na grafu #y = x ^ 2 + 5x + 6 #.
Podobno so tudi rešitve enačbe # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 # bodo presledki x na grafu #y = x ^ 2 + 4x + 4 #.
Ker je res samo ena rešitev # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, tocka funkcije #y = x ^ 2 + 4x + 4 # leži na osi x.
Zdaj pa pomislite na diskriminante kvadratne enačbe. Če nimate predhodnih izkušenj z njim, ne skrbite.
Uporabljamo diskriminante, # b ^ 2 - 4ac #, da bi preverili, koliko rešitev in tip rešitve je kvadratna enačba oblike # ax ^ 2 + bx + c = 0 # morda brez reševanja enačbe.
Ko je diskriminantni manj kot #0#, enačba bo imela ni rešitve. Ko je diskriminantna enaka nič, bo enačba imela točno eno rešitev. Kadar je diskriminantna katera koli številka večja od nič, bo točno dve rešitvi. Če je zadevno število, ki ga dobite kot rezultat popoln kvadrat v slednjem primeru, bo enačba imela dve racionalni rešitvi. Če ne, bo imel dve neracionalni rešitvi.
Pokazal sem že, da ko imate popoln kvadratni trinoma, boste imeli dve identični rešitvi, ki je enaka eni rešitvi. Zato lahko postavimo diskriminante na #0# in rešiti za # c #.
Kje #a = 1, b = 14 in c =? #:
# b ^ 2 - 4ac = 0 #
# 14 ^ 2 - 4 xx 1 xx c = 0 #
# 196 - 4c = 0 #
# 4c = 196 #
#c = 49 #
Torej, popoln kvadrat trinom z #a = 1 in b = 14 # je # x ^ 2 + 14x + 49 #. To lahko preverimo s faktoringom.
# x ^ 2 + 14x + 49 = (x + 7) (x + 7) = (x + 7) ^ 2 #
Vaje:
- S pomočjo diskriminanta določimo vrednosti #a, b ali c # ki naredijo trinomiale popolne kvadrate.
a) # ax ^ 2 - 12x + 4 #
b) # 25x ^ 2 + bx + 64 #
c) # 49x ^ 2 + 14x + c #
Upajmo, da to pomaga, in veliko sreče!
