Naj ve (x) vektor, tako da je vec (x) = ( 1, 1), "in naj" R (θ) = [(costheta, -sintheta), (sintheta, costheta)], to je rotacija Operater. Za theta = 3 / 4pi poiščite vec (y) = R (theta) vec (x)? Naredite skico, ki prikazuje x, y in θ?

To se izkaže kot vrtenje v nasprotni smeri urinega kazalca. Lahko uganete, koliko stopinj?

Let #T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # je linearna transformacija, kjer

#T (vecx) = R (theta) vecx, #

#R (theta) = (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta), #

#vecx = << -1,1 >>. #

Upoštevajte, da je bila ta transformacija predstavljena kot matriko transformacije #R (theta) #.

Kaj to pomeni, je # R # je rotacijska matrika, ki predstavlja rotacijsko transformacijo, ki jo lahko pomnožimo # R # jo # vecx # to preoblikovanje.

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >>

Za # MxxK # in # KxxN # matrika, rezultat je #barva (zelena) (MxxN) # matriko, kjer # M # ali je vrstico dimenzije in # N # ali je v stolpcu dimenzije. To je:

# (y_ (11), y_ (12), …, y_ (1n)), (y_ (21), y_ (22), …, y_ (2n)), (vdoti, vdoti, ddots, vdots), (y_ (m1), y_ (m2), …, y_ (mn)) #

# = (R_ (11), R_ (12), …, R_ (1k)), (R_ (21), R_ (22), …, R_ (2k)), (vdoti, vdoti, ddots, vdots), (R_ (m1), R_ (m2), …, R_ (mk)) xx (x_ (11), x_ (12), …, x_ (1n)), (x_ (21), x_ (22), …, x_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (x_ (k1), x_ (k2), …, x_ (kn)) #

Zato za # 2xx2 # matriko pomnoženo z a # 1xx2 #, moramo prenesti vektor, da dobimo a # 2xx1 # stolpec, ki nam daje odgovor, ki je a # mathbf (2xx1) # vektor stolpca.

Če pomnožimo ta dva:

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx (- 1), (1) #

# = (-costheta - sintheta), (- sintheta + costheta) #

Nato lahko priključimo #theta = (3pi) / 4 # (kar predvidevam, da je pravilen kot), da dobim:

#barva (modra) (T (vecx) = R (theta) vecx) #

# = R (theta) (- 1), (1) #

# = (-cos ((3pi) / 4) - sin ((3pi) / 4)), (- sin ((3pi) / 4) + cos ((3pi) / 4)) #

# = (-cos135 ^ @ - sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# = (- (- sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-sqrt2 / 2)) #

# = barva (modra) ((0), (- sqrt2)) #

Zdaj pa grafirajmo, da vidimo, kako to izgleda. Lahko rečem, da je to vrtenje v nasprotni smeri urinega kazalcapo določitvi transformiranega vektorja.

Dejansko vrtenje v nasprotni smeri urinega kazalca za #135^@#.

IZZIV: Morda lahko razmislite, kaj se zgodi, ko je matrika # (costheta, sintheta), (- sintheta, costheta) # namesto tega. Misliš, da bo v smeri urinega kazalca?