Katera od naslednjih ima največje število resničnih korenin?

Odgovor:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # z #4# prave korenine.

Pojasnilo:

Upoštevajte, da korenine:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

so podmnožica združitve korenin dveh enačb:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (sekira ^ 2-bx + c = 0):} #

Upoštevajte, da če ima ena od teh dveh enačb par resničnih korenin, potem to počne druga, saj imajo enako diskriminantno:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Nadalje upoštevajte, da če #a, b, c # vsi imajo potem isti znak # ax ^ 2 + b abs (x) + c # vedno bo upošteval vrednosti tega znaka, ko # x # je resnično. Torej v naših primerih, saj # a = 1 #, lahko takoj ugotovimo, da:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

tako nima ničel.

Poglejmo ostale tri enačbe:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x v {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +) (X-1) => x v {-2, 1}):} #

Ko poskušamo vsakega od teh, najdemo rešitve #x v {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x v {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => v {-1, -2}):} #

Pri poskusu vsakega od teh najdemo vse rešitve prvotne enačbe, t.j. #x v {-2, -1, 1, 2} #

Alternativna metoda

Upoštevajte, da so prave korenine # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (kje #c! = 0 #) so pozitivne resnične korenine # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Torej, da bi našli, katera od danih enačb ima najbolj prave korenine, je enakovredno ugotovitvi, katera od ustreznih navadnih kvadratnih enačb ima najbolj pozitivne prave korenine.

Kvadratna enačba z dvema pozitivnima resničnima korenima ima znake v vzorcu #+ - +# ali #- + -#. V našem primeru je prvi znak vedno pozitiven.

Od navedenih primerov imajo v vzorcu samo drugi in tretji koeficient #+ - +#.

Lahko diskontiramo drugo enačbo # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # ker je njen diskriminant negativen, za tretjo enačbo pa najdemo:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

ima dve pozitivni resnični koreni, ki prinašata #4# korenine enačbe # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #