Naj bo RR označen množica realnih števil. Poišči vse funkcije f: RR-> RR, ki izpolnjujejo abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) za vse x, y pripada RR.?

Naj bo RR označen množica realnih števil. Poišči vse funkcije f: RR-> RR, ki izpolnjujejo abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) za vse x, y pripada RR.?
Anonim

Odgovor:

#f (x) = pm 2 x + C_0 #

Pojasnilo:

Če #abs (f (x) -f (y)) = 2abs (x-y) # potem #f (x) # je Lipschitz neprekinjen. Torej je funkcija #f (x) # je različno. Nato sledite, #abs (f (x) -f (y)) / (abs (x-y)) = 2 # ali

#abs ((f (x) -f (y)) / (x-y)) = 2 # zdaj

#lim_ (x-> y) abs ((f (x) -f (y)) / (xy)) = abs (lim_ (x-> y) (f (x) -f (y)) / (xy))) = abs (f '(y)) = 2 #

tako

#f (x) = pm 2 x + C_0 #