Kako se trigonometrična substitucija razlikuje od u substitucije?

Odgovor:

Običajno se za integrale oblike uporablja trigonometrija # x ^ 2 + -a ^ 2 # ali #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, medtem # u #-substitucija se uporablja, kadar se funkcija in njen izpeljanik pojavita v integralu.

Pojasnilo:

Obe vrsti zamenjav se mi zdita zelo zanimive zaradi razlogov za to. Najprej razmislimo o zamenjavi trigonometrije. To izhaja iz pitagorejske teoreme in pitagorejskih identitet, verjetno dveh najpomembnejših konceptov v trigonometriji. To uporabimo, ko imamo nekaj podobnega:

# x ^ 2 + a ^ 2 -> # kje # a # je konstantna

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # spet predpostavljam # a # je konstantna

Vidimo, da ti dve izgledata grozno # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, ki je pitagorejska teorema. Povezuje obe strani pravokotnega trikotnika s hipotenuzo trikotnika. Če to izpeljemo, lahko vidimo, da, # x ^ 2 + a ^ 2 # lahko je predstavljen s trikotnikom:

Slika je zelo koristna, ker nam pove # tantheta = x / a #, ali # atantheta = x #; to je osnova za zamenjavo trigonometrije. Poleg tega (in to je tam, kjer postane super), ko zamenjate # x = tantheta # v # x ^ 2 + a ^ 2 #, v tem primeru boste dobili pitagorejsko identiteto # tan ^ 2theta + 1 = sec ^ 2theta #. Nato lahko naredite nekaj za poenostavitev # sec ^ 2theta # če je potrebno, in integralni je enostavno tam zunaj. Enako velja za primere # x ^ 2-a ^ 2 #, # a ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, in #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Uporabite lahko sub-trig. za veliko težav, vendar jih lahko uporabite # u #- zamenjava verjetno še več. To tehniko uporabljamo, ko imamo nekaj podobnega # intlnx / xdx #. Če smo pozorni, vidimo, da imamo dve funkciji - # lnx # in # 1 / x #. In če se spomnimo naših osnovnih derivatov, vemo # d / dxlnx = 1 / x # za #x> 0 # (ali # d / dxlnabs (x) = 1 / x # za #x! = 0 #). Ideja je torej reči let # u = lnx #; potem # (du) / dx = 1 / x # in # du = dx / x #. Problem, po teh zamenjavah, poenostavlja # intudu # - veliko lažje integralne kot prej.

Medtem ko sta lahko ti dve tehniki različni, oba služita istemu namenu: zmanjšati integral na enostavnejšo obliko, da lahko uporabimo osnovne tehnike. Prepričana sem, da moja razlaga ne zadostuje za vključitev vseh podrobnosti o teh zamenjavah, zato pozivam druge, da prispevajo.