Ali je na krivulji y = x ^ (x (1 + 1 / y)) kakšna točka (x, y), x> 0, pri kateri je tangenta vzporedna z osjo x?

Odgovor:

Kar se tiče moje matematike, ni take točke.

Pojasnilo:

Najprej preučimo pogoje tangente, če je vzporedna z # x #-osk. Odkar je # x #- os je vodoravna, prav tako mora biti katera koli linija vzporedna z njo vodoravna; Iz tega sledi, da je tangenta vodoravna. In seveda se horizontalne tangente pojavijo, ko je derivat enak #0#.

Zato moramo najprej začeti z iskanjem izpeljanke te monstruozne enačbe, ki jo lahko dosežemo z implicitno diferenciacijo:

# y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) lnx #

Uporabimo pravilo vsote, pravilo verige, pravilo izdelka, pravilo količnika in algebro:

# d / dx (lny) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Wow … to je bilo intenzivno. Zdaj nastavimo derivat, ki je enak #0# in poglej, kaj se zgodi.

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -ylnx-y = lnx + 1 #

# -y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# y = -1 #

Zanimivo. Zdaj pa se priključimo # y = -1 # in poglejmo, za kaj dobimo # x #:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Ker je to protislovje, sklepamo, da ni nobenih točk, ki bi izpolnjevale ta pogoj.

Odgovor:

Takšne tangente ni.

Pojasnilo:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) enakovredno y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Zdaj kličem #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # imamo

#df = f_x dx + f_y dy = (delno u) / (delno x) dx + (delno v) / (delno y) dy = 0 # potem

# dy / dx = - ((delno u) / (delno x)) / ((delno v) / (delno y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

To vidimo # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # vendar morajo te vrednosti preveriti:

#f (x, y_0) = 0 # in

#f (x_0, y) = 0 #

V prvem primeru, # y_0 = 1 # imamo

# x ^ x = -1 # ki ni mogoče doseči v realni domeni.

V drugem primeru, # x_0 = e ^ {- 1} # imamo

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # ali

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

ampak

# y / (y + 1) log_e y> -1 # tako tudi ni prave rešitve.

Če zaključimo, takšne tangente ni.

Odgovor:

Odgovor Dr, Cawa K, x = 1 / e, je natančen.

Pojasnilo:

To vprašanje sem predlagal, da bi natančno dobil to vrednost. Zahvale gredo

Dr Cawas, za odločilni odgovor, ki potrjuje razodetje

dvojna natančnost y 'ostane 0 okoli tega intervala. y je

neprekinjeno in diferencialno pri x = 1 / e. Kot obe 17-sd dvojni

natančnost y in y 'sta 0, v tem intervalu okoli x = 1 / e je bila a

domneva, da se os x dotakne graf med. In zdaj je

dokazano. Mislim, da je dotik transcendentalen..