Odgovor:
Tangentna črta je vzporedna z # x # osi, ko je naklon (torej # dy / dx #) je nič in je vzporedno z # y # osi, ko je naklon (ponovno, # dy / dx #) gre # oo # ali # -oo #
Pojasnilo:
Začeli bomo z iskanjem # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Zdaj, # dy / dx = 0 # ko je nuimerator #0#pod pogojem, da to ne pomeni tudi imenovalca #0#.
# 2x + y = 0 # kdaj #y = -2x #
Zdaj imamo dve enačbi:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Reši (z zamenjavo)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Uporaba #y = -2x #, dobimo
Tangenta na krivuljo je vodoravna na dveh točkah:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # in # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Opazujte, da ti par ne pomeni tudi imenovalca # dy / dx # enako #0#)
Če želite najti točke, pri katerih je tangenta navpična, naredite imenovalec # dy / dx # enako tpo #0# (brez števca. t #0#).
Lahko bi šli skozi rešitev, toda simetrijo enačbe, ki jo bomo dobili:
# x = -2y #, Torej
#y = + - sqrt21 / 3 #
in točke na krivulji, pri kateri je tangenta navpična, so:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # in # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Mimogrede. Ker imamo tehnologijo, je tukaj graf tega obrnjene elipse: (Upoštevajte to # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # ki jih lahko vidite na grafu.)
graf {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}
Odgovor:
Uporabljam le matematiko iz srednje šole
Tangente vzporedno z osjo x pri:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) in (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tangente, vzporedne z y osjo pri:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) in (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Pojasnilo:
Pogledal sem Jimovega odgovora, ki je videti kot lepo, standardno zdravljenje. Ampak nisem mogel pomagati, da se ne počutim žalostno za vse srednje šole, ki so tam, v Sokratovi deželi, ki želijo najti tangente algebrskih krivulj, vendar so še vedno daleč stran od računa.
Na srečo lahko ti problemi uporabljajo samo Algebro I.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Za prvi primer bi to lahko bilo malo zapleteno, toda pojdimo z njim. Pišemo svojo krivuljo kot #f (x, y) = 0 # kje
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Poglejmo # (r, s) # kot točko naprej # f #. Želimo raziskati # f # blizu # (r, s) # tako pišemo
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Razširjamo se, vendar ne razširjamo pogojev razlike # x-r # in # y-s #. Želimo, da te nedotaknjene, da bomo lahko poskusili z odpravo nekaj kasneje.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Rekli smo # (r, s) # je vklopljen # f # tako #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Termine smo razvrstili po stopnjah in lahko eksperimentiramo s približki # f # blizu # (r, s) # s padanjem višjih stopenj. Ideja je, kdaj # (x, y) # je blizu # (r, s) # potem # x-r # in # y-s # so majhni, njihovi kvadrati in izdelki pa so še vedno manjši.
Ustvarimo nekaj približkov # f #. Od # (r, s) # je na krivulji, konstantni približek, ki zniža vse razlike, je
# f_0 (x, y) = 0 #
To ni posebej razburljivo, vendar nam pravilno pove točke blizu # (r, s) # bo dala vrednost blizu nič za # f #.
Poglejmo bolj zanimivo in ohranimo linearne izraze.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Ko to nastavimo na nič, dobimo najboljše linearno približevanje # f # blizu # (r, s), # ki je tangenta do # f # na # (r, s). Zdaj smo že nekje.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Preučimo lahko tudi druge približke:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
To so tangente višjega reda, tiste, ki jih študentje matematike komaj kdaj dosežejo. Prešli smo že izven koledža.
Obstaja več približkov, vendar me opozarjajo, da to postaja dolgo. Zdaj, ko smo se naučili, kako narediti račun z uporabo samo algebre, naredimo problem.
Želimo najti točke, kjer je tangentna črta vzporedna z # x # osi in # y # osi.
Našo tangentno linijo smo našli # (r, s) # je
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Vzporedno z # x # pomeni enačbo #y = text {constant} #. Torej koeficient na # x # mora biti nič:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r, s) # je na krivulji tako #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Od # s = -2r # točke so
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) in (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Podobno pomeni vzporedno z osjo y # 2s + r = 0 # kar bi moralo zamenjati x in y zaradi simetrije problema. Torej so druge točke
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) in (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Preveri.
Kako preveriti? Naredimo Alpha plot.
graf x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Izgleda v redu. Račun na algebrskih krivuljah. Precej dobro za srednjo šolo.
