Razmislite o 3 enakih krogih polmera r znotraj danega kroga polmera R, ki se dotaknejo drugih dveh in danega kroga, kot je prikazano na sliki, potem je območje osenčenega območja enako?

Tako lahko oblikujemo izraz za območje osenčenega območja:

#A_ "osenčen" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "center" #

kje #A_ "center" # je območje majhnega dela med tremi manjšimi krogi.

Da bi našli območje tega, lahko narišemo trikotnik tako, da povežemo središča treh manjših belih krogov. Ker ima vsak krog polmer # r #, dolžina vsake strani trikotnika je # 2r # in trikotnik je enakostranični, tako da imajo koti # 60 ^ o # vsak.

Tako lahko rečemo, da je kot osrednjega območja območje tega trikotnika minus tri sektorje kroga. Višina trikotnika je preprosta #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, zato je območje trikotnika # 1/2 * osnova * višina = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Območje treh krogovnih segmentov v tem trikotniku je v bistvu enako območje kot polovica kroga (zaradi obodnih kotov # 60 ^ o # vsak, ali #1/6# krog, tako da lahko sklepamo, da je skupna površina teh sektorjev # 1/2 pir ^ 2 #.

Nazadnje lahko določimo območje središča regije #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Če se vrnemo na naš izvirni izraz, je območje osenčenega območja

# piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Odgovor:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Pojasnilo:

Dajmo belim krogom polmer # r = 1 #. Centri tvorijo enakostranični trikotnik #2#. Vsaka srednja vrednost / višina je #sqrt {3} # tako je razdalja med vozliščem in centroidom # 2/3 sqrt {3} #.

Centroid je središče velikega kroga, tako da je to razdalja med središčem velikega kroga in središčem malega kroga. Dodamo nekaj polmera # r = 1 # dobiti

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Področje, ki ga iščemo, je območje velikega kroga, ki je manj enakostranični trikotnik in preostali #5/6# vsakega kroga.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Razširjamo se # r ^ 2 # na splošno.