Sila, ki deluje na objekt, ki se premika vodoravno na linearni poti, je opisana s F (x) = x ^ 2-3x + 3. Koliko se spreminja kinetična energija objekta, ko se objekt premakne iz x v [0, 1]?

Odgovor:

Newtonov drugi zakon gibanja:

# F = m * a #

Definicije pospeška in hitrosti:

# a = (du) / dt #

# u = (dx) / dt #

Kinetična energija:

# K = m * u ^ 2/2 #

Odgovor je:

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Pojasnilo:

Newtonov drugi zakon gibanja:

# F = m * a #

# x ^ 2-3x + 3 = m * a #

Zamenjava # a = (du) / dt # ne pomaga pri enačbi, saj # F # ni podana kot funkcija # t # ampak kot funkcija # x # Vendar:

# a = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Toda # (dx) / dt = u # tako:

# a = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Če nadomestimo enačbo, ki jo imamo, imamo diferencialno enačbo:

# x ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (x ^ 2-3x + 3) dx = m * udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m * udu #

Dve hitrosti sta neznani, vendar sta položaji # x # znane. Tudi masa je konstantna:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2) udu #

# x ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2 / 2- u_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * u_2 ^ 2/2-m * u_2 ^ 2/2 #

Toda # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = K_2-K_1 #

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Opomba: enote so # kg * m ^ 2 / s ^ 2 # samo, če so podane razdalje # (x v 0,1) # v metrih.