Kaj je cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]?

Odgovor:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Pojasnilo:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) #

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

Zdaj, z uporabo #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) y = xy + sqrt ((1-x ^ 2) * (1-y ^ 2)) #, dobimo,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = cos (cos ^ (- 1) (5/13 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Odgovor:

S formulo kota seštevka

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (

# = pm {5, {3}} / 6: 6/13 #

Pojasnilo:

#x = cos (arcsin (1/2) + arccos (5/13)) #

Ta vprašanja so dovolj zmedena s funky inverzno funkcijsko notacijo. Pravi problem pri vprašanjih, kot je ta, je na splošno najbolje obravnavati inverzne funkcije kot večvalentne, kar lahko pomeni tudi, da ima izraz tudi več vrednosti.

Lahko pogledamo tudi vrednost # x # za glavno vrednost inverznih funkcij, vendar bom to prepustila drugim.

Kakorkoli, to je kosinus vsote dveh kotov, kar pomeni, da uporabljamo formulo za skupni kot:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

Kosinus inverznega kosinusa in sinusni sinus sta enostavna. Kosinus inverznega sinusa in sinus inverznega kosinusa sta prav tako enostavna, toda tam, kjer pride multivalualno vprašanje.

Na splošno bodo obstajala dva nekoterminalna kota, ki si delita dani kosinus, negacije drug drugega, katerih sinusi bodo negacije drug drugega. Običajno bosta obstajala dva nekotermalna kota, ki si delita določen sinus, dodatni koti, ki bodo imeli kosinusi, ki so negacije drug drugega. Torej, v obe smeri smo z a # pm #. Naša enačba bo imela dve # in pomembno je omeniti, da so neodvisni, nepovezani.

Poglejmo #arcsin (-1/2) # prvi. To je seveda eden od klišejev trig, # -30 ^ circ # ali # -150 ^ krog #. Kosinus bo # + sqrt {3} / 2 # in # - sqrt {3} / 2 # v tem zaporedju.

Dejansko nam ni treba upoštevati tega kota. Lahko razmislimo o pravokotnem trikotniku z nasprotnim 1 in hipotenuzo 2 in pridemo do sosednjega #.srt {3} # in kosinus # # pmsrt {3} / 2 #. Ali če je to preveč razmišljanja, saj # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # potem #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # ki nam mehansko dovoljujejo reči:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

Podobno, #5,12,13# je pitagorejska trojna zaposlena tukaj

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (

#x = pm {5 sqrt {3}} / 6