Kaj je integral e ^ (x ^ 3)?

Tega integrala ne morete izraziti v smislu elementarnih funkcij.

Glede na to, za kaj potrebujete integracijo, lahko izberete način integracije ali drugo.

Integracija preko močnostnih serij

Spomnimo se tega # e ^ x # je analitično #mathbb {R} #, Torej #forall x v mathbb {R} # velja naslednja enakost

# e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

in to pomeni

# e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Zdaj lahko integrirate:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Integracija prek nepopolne gama funkcije

Prvič, nadomestek # t = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

Funkcija # e ^ {x ^ 3} # je neprekinjen. To pomeni, da so njegove primitivne funkcije #F: mathbb {R} za mathbb {R} # tako, da

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

in to je dobro opredeljeno, ker funkcija #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # je tako, da za #t do 0 # drži #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, tako da je nepravilna integral # int_0 ^ s f (t) dt # je končna (kličem # s = -y ^ 3 #).

Torej imate to

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Opomba #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. To pomeni za #t do + infty # dobili smo to #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, tako da # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Torej po neustreznem integralu #f (t) # je končno:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = gama (1/3) #.

Lahko pišemo:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

to je

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1 / 3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

Na koncu smo dobili

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gama (1/3, t) = C + 1/3 Gama (1/3, -x ^ 3) #