Območje e ^ x / ([x] +1), x> 0 in kjer [x] označuje največje celo število?

Odgovor:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Pojasnilo:

Predvidevam # x # je najmanjše celo število večje od # x #. V naslednjem odgovoru bomo uporabili zapis #ceil (x) #, ki se imenuje funkcija stropa.

Let #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. Od # x # je strogo večja od #0#, to pomeni, da je domena. t # f # je # (0, + oo) #.

Kot #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # in od takrat # e ^ x # je vedno pozitiven, # f # je vedno strogo večja od #0# v svoji domeni. Pomembno je omeniti to # f # je ne in ni neprekinjeno pri naravnem številu. Da bi dokazal to, naj # n # biti naravna številka:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Ker #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Podobno, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Ker omejitve leve in desne strani niso enake, # f # ni neprekinjeno za cela števila. Tudi, #L> R # za vse #n v NN #.

Kot # f # narašča v intervalih, ki jih omejujejo pozitivna cela števila, "najmanjše vrednosti" na interval bodo enake kot # x # se približuje spodnji meji z desne strani.

Zato je najnižja vrednost # f # bo

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

To je spodnja meja območja # f #.

Čeprav to ni res pravilno reči # f # narašča, je v smislu, asimptotično, se približuje neskončnosti - kot je prikazano spodaj:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

Kot #ceilx> = x #, obstaja #delta <1 # tako, da # ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Let #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# e ^ u # eksponentno narašča # u # to počne linearno, kar pomeni

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Zato je razpon. T # f # je

# "Razpon" = (1/2, oo) #

Interval je odprt na levi strani, ker #http: // 2 # je še vedno #f (0) #, in kot # x # pristopov #0^+#, #f (x) # samo pristopi #http: // 2 #; nikoli res ni enak.