Kakšna je povprečna vrednost funkcije f (x) = cos (x / 2) na intervalu [-4,0]?

Odgovor:

# 1 / 2sin (2) #, približno #0.4546487#

Pojasnilo:

Povprečna vrednost # c # funkcije # f # na intervalu # a, b # daje:

# c = 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx #

To pomeni, da to pomeni povprečno vrednost:

# c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

Uporabimo zamenjavo # u = x / 2 #. To pomeni, da # du = 1 / 2dx #. Nato lahko ponovno sestavimo integral kot tak:

# c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

# c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) #

Razdelitev #1/4# v #1/2*1/2# omogoča # 1 / 2dx # biti prisotni v integralu, tako da lahko enostavno naredimo zamenjavo # 1 / 2dx = du #. Prav tako moramo spremeniti meje v meje # u #, ne # x #. Če želite to narediti, vzemite tok # x # meje in jih priključite # u = x / 2 #.

# c = 1 / 2int _ (- 2) ^ 0 ko (u) du #

To je skupni integral (upoštevajte to # d / dxsin (x) = cos (x) #):

# c = 1/2 sin (u) _ (- 2) ^ 0 #

Ocenjevanje:

# c = 1/2 (sin (0) -sin (-2)) #

# c = -1 / 2sin (-2) #

Upoštevajte, da #sin (-x) = - sin (x) #:

# c = 1 / 2sin (2) #

#c approx0.4546487 #

Povprečna vrednost funkcije v (x) = 4 / x2 na intervalu [[1, c] je enaka 1. Kakšna je vrednost c?

C = 4 Povprečna vrednost: (int_1 ^ c (4 / x ^ 2) dx) / (c-1) int_1 ^ c (4 / x ^ 2) = [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4 Torej je povprečna vrednost (-4 / c + 4) / (c-1) Reševanje (-4 / c + 4) / (c-1) = 1 nam daje c = 4.

Kakšna je povprečna vrednost funkcije f (x) = (x-1) ^ 2 na intervalu [1,5]?

16/3 f (x) = (x-1) ^ 2 = x ^ 2-2x + 1 "Povprečje vseh točk" f (x) v [a, b] = (int_a ^ bf (x) dx) / (ba) int_1 ^ 5 (x ^ 2-2x + 1) dx = [x ^ 3/3-x ^ 2 + x] _1 ^ 5 = [5 ^ 3 / 3-5 ^ 2 + 5] - [ 1 / 3-1 + 1] = 65 / 3-1 / 3 = 64/3 (64/3) / 4 = 16/3

Kakšna je povprečna vrednost funkcije f (t) = te ^ (- t ^ 2) na intervalu [0,5]?

Je 1/10 (1-e ^ -25) 1 / (5-0) int_0 ^ 5 te ^ (- t ^ 2) dt = -1/10 int_0 ^ 5 e ^ (- t ^ 2) (- 2t) dt = -1/10 [e ^ (- t ^ 2)] _ 0 ^ 5 = -1/10 (e ^ -25 - e ^ 0) = 1/10 (1-e ^ -25)