Kako dokazati, da je sek (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Odgovor:

Naredite nekaj konjugiranega množenja, uporabite trigonomske identitete in poenostavite. Glej spodaj.

Pojasnilo:

Spomnimo se pitagorejske identitete # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Razdelite obe strani z # cos ^ 2x #:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> tan ^ 2x + 1 = sek ^ 2x #

Uporabili bomo to pomembno identiteto.

Osredotočimo se na ta izraz:

# secx + 1 #

Upoštevajte, da je to enakovredno # (secx + 1) / 1 #. Pomnožite zgornjo in spodnjo stran # secx-1 # (ta tehnika je znana kot konjugirano množenje):

# (secx + 1) / 1 * (sek-1) / (sek-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (sek ^ 2x-1) / (sek-1) #

Od # tan ^ 2x + 1 = sek ^ 2x #, to vidimo # tan ^ 2x = sek ^ 2x-1 #. Zato lahko števec zamenjamo z # tan ^ 2x #:

# (tan ^ 2x) / (sek-1) #

Naša težava se zdaj glasi:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Imamo skupni imenovalec, tako da lahko dodamo ulomke na levi strani:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Tangente prekliče:

# (prekliči (tan ^ 2x) + 1-preklic (tan ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Pustite nas:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Od # secx = 1 / cosx #, lahko to prepišemo kot:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Dodajanje frakcij v imenovalec, vidimo:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Uporaba lastnine # 1 / (a / b) = b / a #, imamo:

# cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

In to dopolnjuje dokaz.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (sek-1) #

# = ((secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (sek-1) #

# = (sek ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (sek-1) #

# = cosx / cosx * ((sek ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((sek-1)) #

#barva (rdeča) ("vstavljanje", sek ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #

# = cosx / (cosxsecx-cosx) #

#barva (rdeča) ("vstavljanje", cosxsecx = 1) #

# = cosx / (1-cosx) = RHS #