Točke (2, 9) in (1, 3) so med seboj (3 pi) / 4 radiana na krogu. Kakšna je najkrajša dolžina loka med točkami?

Odgovor:

6,24 enote

Pojasnilo:

To je razvidno iz zgornje slike, ki je najkrajša # arcAB # imajo končno točko A (2,9) in B (1,3) # pi / 4 # rad-kot na sredini O kroga. Akord AB dobimo z združitvijo A, B. Pravokotna OC je prav tako narisana na njej pri C od središča O.

Sedaj je trikotnik OAB enakokračen z OA = OB = r (polmer kroga)

Ocenjeno # / _ AOB # in # / _ AOC # postane # pi / 8 #.

AgainAC = BC# = 1 / 2AB = 1/2 * sqrt ((2-1) ^ 2 + (9-3) ^ 2) = 1 / 2sqrt37 #

#:. AB = sqrt37 #

Zdaj # AB = AC + BC = rsin / _AOC + rsin / _BOC = 2rsin (pi / 8) #

# r = 1 / 2AB * (1 / sin (pi / 8)) = 1 / 2sqrt37csc (pi / 8) #

Zdaj, Najkrajša dolžina loka AB = polmer# * / _ AOB = r * / _ AOB = r * (pi / 4) = 1 / 2sqrt37csc (pi / 8) * (pi / 4) = 6,24 #enoto

Bolj preprosto so lastnosti trikotnika

# r / sin (3pi / 8) = (AB) / sin (pi / 4) #

# r = (AB) / sin (pi / 4) * (sin (3pi / 8)) = sqrt2AB * sin (3pi / 8) #

Zdaj

Najkrajša dolžina loka AB = polmer# * / _ AOB = r * / _ AOB = r * (pi / 4) = sqrt2AB * sin (3pi / 8) * pi / 4 = 6,24 # enoto

Središče kroga je pri (3, 4) in poteka skozi (0, 2). Kakšna je dolžina obloka (pi) / 6 radiana na krogu?

Središče kroga je pri (3,4), Krog prehaja skozi (0,2) Kot, ki ga je naredil lok na krogu = pi / 6, Dolžina loka = ?? Naj bo C = (3,4), P = (0,2) Izračunavanje razdalje med C in P daje polmer kroga. | CP | = sqrt ((0-3) ^ 2 + (2-4) ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt13 Naj polmer označimo z r, kot, ki ga obkroža lok v sredini, označimo z theta in dolžino loka označimo s s. Potem r = sqrt13 in theta = pi / 6 Vemo, da: s = rtheta pomeni s = sqrt13 * pi / 6 = 3.605 / 6 * pi = 0.6008pi pomeni s = 0.6008pi Zato je dolžina loka 0.6008pi.

Točke (3, 2) in (7, 4) so (pi) / 3 radiani narazen na krogu. Kakšna je najkrajša dolžina loka med točkami?

4.68 Enota Ker je lok, katerega končne točke so (3,2) in (7,4), podreja v sredini ti / 3, je dolžina črte, ki povezuje ti dve točki, enaka njegovemu polmeru. Zato je dolžina polmera r = sqrt ((7-3) ^ 2 + (4-2) ^ 2) = sqrt20 = 2sqrt5 zdajS / r = theta = pi / 3, kjer je s = dolžina loka in r = polmer, theta = Zaslon kota se nahaja v središču. S = pi / 3 * r = 3,14 / 3 * 2sqrt5 = 4,68 enota

Točke (6, 7) in (5, 5) so (2 pi) / 3 radiana na krogu. Kakšna je najkrajša dolžina loka med točkami?

= (2pisqrt5) / (3sqrt3) AB = sqrt ((6-5) ^ 2 + (7-5) ^ 2) = sqrt5 Naj polmer kroga = r AB = AC + BC = rsin (pi / 3) + rsin (pi / 3) = 2rsin (pi / 3) = sqrt3r r = (AB) / (sqrt3) = sqrt5 / (sqrt3) dolžina loka = rxx (2pi / 3) = sqrt5 / (sqrt3) xx (2pi / 3) = (2pisqrt5) / (3sqrt3)