Kakšni so primeri konvergentnih serij?

Odgovor:

Tu so trije pomembni primeri …

Pojasnilo:

Geometrične serije

Če #abs (r) <1 # potem vsota geometrijskih serij #a_n = r ^ n a_0 # je usklajen:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Eksponentna funkcija

Določanje serije # e ^ x # je konvergentna za vsako vrednost # x #:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Da bi to dokazali, za vsako dano # x #, naj # N # je celo število večje od #abs (x) #. Potem pa #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # konvergira, ker je končna vsota in #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # konvergira, ker je absolutna vrednost razmerja zaporednih izrazov manjša od. t #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Baselski problem

Baselski problem, postavljen leta 1644, ki ga je Euler rešil leta 1734, je zahteval vrednost vsote vzajemnih kvadratov pozitivnih celih števil:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #