Poenostavite popolnoma: 1 - 2 sin ^ 2 20 °?

Spomnimo se tega

#cos (2x) = 1 - 2sin ^ 2x #

Tako

#cos (40) = 1 - 2sin ^ 2 (20) #

Zato je naš izraz enak #cos (40) #.

Upajmo, da to pomaga!

Odgovor:

# 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ = cos 40 ^ circ #

Pojasnilo:

"Popolnoma" je mehak cilj v trigonu, kot bomo videli.

Prvič, bistvo tega problema je prepoznati sinusno obliko kosinusne dvojne kotne formule:

#cos (2 theta) = cos (theta + theta) = cos theta cos theta - sin theta sin theta ## = cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta = (1 - sin ^ 2 theta) - sin ^ 2 theta #

#cos (2 theta) = 1 - 2 sin ^ 2 theta #

Pisanje za # theta = 20 ^ circ #, #cos (2 (20 ^ circ)) = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

#cos 40 ^ circ = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

Verjetno #cos 40 ^ circ # je rezultat "popolnoma poenostavljen".

To je odgovor. Monzur predlaga, da se pred naslednjim delom posvetim. To je popolnoma neobvezno; prosim, bodite pozorni, če želite izvedeti več o #cos 40 ^ circ # in nehajte brati, če ne.

#cos 40 ^ circ # je povsem poenostavljena, ker za to ni resnično boljšega izraza, kot je #cos 40 ^ circ #. # 40 ^ circ # ni mogoče konstruirati z ravnim robom in kompasom. To pomeni, da njegove trigonomske funkcije niso rezultat celih števil, sestavljenih iz seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja ter kvadratnih korenov.

#cos 40 ^ circ # je dejansko koren polinomske enačbe s celoštevilskimi koeficienti. # theta = 40 ^ circ # izpolnjuje enačbo #cos (44 theta) = - cos (46 theta) #. Če #x = cos theta, # to je #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x), # kje za # T #s so Chebyshevi polinomi prve vrste. Namesto dvojnih in trojnih kotov so to 44-kratne in 46-kratne kotne formule.

Torej #cos (40 ^ circ) je eden od štirideset šestih korenin:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

To sploh ni enostavno.