Kako rešiti z integracijo?

Odgovor:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "Območje" = 117/4 #

Pojasnilo:

Q je presek črte x # 2x + y = 15 #

Najti to točko, naj # y = 0 #

# 2x = 15 #

# x = 15/2 #

Torej # Q = (15 / 2,0) #

P je točka prestrezanja med krivuljo in črto.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Pod #(1)# v #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

# x = -5 # ali # x = 3 #

Iz grafa je x-koordinata P pozitivna, zato lahko zavrnemo # x = -5 #

# x = 3 #

# y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

graf {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

Zdaj za območje

Da bi našli celotno območje te regije, lahko najdemo dve področji in ju skupaj dodamo.

To bo področje pod # y = x ^ 2 # od 0 do 3 in območje pod črto od 3 do 15/2.

# "Površina pod krivuljo" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Območje proge lahko rešimo z integracijo, vendar je lažje obravnavati kot trikotnik.

# "Površina pod črto" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "skupna površina osenčenega območja" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Odgovor:

Za 3 in 4

Tom's done 10

Pojasnilo:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x)

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Odgovor:

Glej spodaj:

Opozorilo: dolg odgovor!

Pojasnilo:

Za (3):

Uporaba lastnosti:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Zato:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Za (4):

(ista stvar)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# x = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Vendar pa moramo zamenjati omejitve za integral, zato:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Torej:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Za 10 (a):

Dve funkciji se križata pri # P #, tako da # P #:

# x ^ 2 = -2x + 15 #

(Funkcijo črte sem obrnil v obliko prestrezanja)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

Torej # x = 3 # kot smo desno od # y # osi #x> 0 #.

(vnos # x = 3 # v katero koli od funkcij)

# y = -2x + 15 #

# y = -2 (3) + 15 #

# y = 15-6 = 9 #

Torej koordinata # P # je #(3,9)#

Za # Q #, linija # y = -2x + 15 # reže # y #-osk, torej # y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# x = (15/2) = 7,5 #

Torej # Q # se nahaja na #(7.5, 0)#

Za 10 (b).

Zgradil bom dva integrala, da najdem območje. Integrale bom rešil ločeno.

Območje je:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Reši prvi integral)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(nadomestite meje v integriran izraz, ne pozabite:

Zgornja spodnja meja najti vrednost integrala)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(rešite drugi integral)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7,5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(nadomestne omejitve: Upper-lower)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #