Kaj je integral sqrt (9-x ^ 2)?

Kadarkoli vidim te vrste funkcij, prepoznam (z veliko vadbo), da tukaj uporabite posebno zamenjavo:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

To bi lahko izgledalo kot čudna zamenjava, vendar boste videli, zakaj to počnemo.

#dx = 3cos (u) du #

Zamenjaj vse v integralu:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

3 lahko izvlečemo iz integrala:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9–9 znakov ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Devet elementov lahko izračunate:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Vemo identiteto: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Če bomo rešili # cosx #, dobimo:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

To je točno to, kar vidimo v integralu, tako da ga lahko nadomestimo:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Morda boste to spoznali kot osnovno antivirusno sredstvo, vendar če tega ne storite, lahko to ugotovite tako:

Uporabljamo identiteto: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (to lahko odpravite z zamenjavo)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Zdaj, vse kar moramo narediti je # u # v funkcijo. Poglejmo nazaj, kako smo jo definirali:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = sin (u) #

Dobiti # u # od tega morate sprejeti inverzno funkcijo # sin # na obeh straneh je to # arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Zdaj jo moramo vstaviti v našo rešitev:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

To je končna rešitev.