Kako najdete vsoto neskončnih geometrijskih serij 10 (2/3) ^ n pri n = 2?

Odgovor:

Odgovor je tudi #40/9# ali #40/3# odvisno od tega, kaj je pomenilo vprašanje.

Pojasnilo:

No, če #n = 2 # potem ni vsote, odgovor je samo:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Mogoče pa je bilo vprašanje zastavljeno tako, da se zahteva, da se začne neskončna vsota # n = 2 # tako, da je enačba:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

V tem primeru bi jo izračunali tako, da bi najprej ugotovili, da so lahko vse geometrijske vrste v obliki:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

V tem primeru ima naša serija #a = 10 # in #r = 2/3 #.

Upoštevali bomo tudi:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Tako lahko preprosto izračunamo vsoto geometrijske vrste # (2/3) ^ n # in nato pomnožite to vsoto #10# da dosežemo naš rezultat. To olajša stvari.

Imamo tudi enačbo:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

To nam omogoča, da izračunamo vsoto serij od # n = 0 #. Vendar jo želimo izračunati # n = 2 #. Da bi to naredili, bomo preprosto odšteli # n = 0 # in # n = 1 # iz celotnega zneska. Če zapišemo prvih nekaj izrazov, lahko vidimo, da izgleda tako:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Vidimo, da:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#