Kakšna je povprečna vrednost funkcije u (x) = 10xsin (x ^ 2) na intervalu [0, sqrt pi]?

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

Povprečna vrednost je

# 1 / (sqrtpi-0) int_0 ^ sqrtpi 10xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpiint_0 ^ sqrtpi 2xsin (x ^ 2) dx #

# = 5 / sqrtpi -cos (x ^ 2) _ 0 ^ sqrtpi #

# = 12 / sqrtpi #

Pedantna opomba

# (12sqrtpi) / pi # NE ima racionalnega imenovalca.

Povprečna vrednost funkcije v (x) = 4 / x2 na intervalu [[1, c] je enaka 1. Kakšna je vrednost c?

C = 4 Povprečna vrednost: (int_1 ^ c (4 / x ^ 2) dx) / (c-1) int_1 ^ c (4 / x ^ 2) = [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4 Torej je povprečna vrednost (-4 / c + 4) / (c-1) Reševanje (-4 / c + 4) / (c-1) = 1 nam daje c = 4.

Kakšna je povprečna vrednost funkcije f (x) = (x-1) ^ 2 na intervalu [1,5]?

16/3 f (x) = (x-1) ^ 2 = x ^ 2-2x + 1 "Povprečje vseh točk" f (x) v [a, b] = (int_a ^ bf (x) dx) / (ba) int_1 ^ 5 (x ^ 2-2x + 1) dx = [x ^ 3/3-x ^ 2 + x] _1 ^ 5 = [5 ^ 3 / 3-5 ^ 2 + 5] - [ 1 / 3-1 + 1] = 65 / 3-1 / 3 = 64/3 (64/3) / 4 = 16/3

Kakšna je povprečna vrednost funkcije f (t) = te ^ (- t ^ 2) na intervalu [0,5]?

Je 1/10 (1-e ^ -25) 1 / (5-0) int_0 ^ 5 te ^ (- t ^ 2) dt = -1/10 int_0 ^ 5 e ^ (- t ^ 2) (- 2t) dt = -1/10 [e ^ (- t ^ 2)] _ 0 ^ 5 = -1/10 (e ^ -25 - e ^ 0) = 1/10 (1-e ^ -25)