Kaj so globalni in lokalni ekstremi f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Odgovor:

#f (x) # ima absolutni minimum na #(-1. 0)#

#f (x) # ima lokalni maksimum na # (- 3, 4e ^ -3) #

Pojasnilo:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Pravilo izdelka

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Za absolutne ali lokalne ekstreme: #f '(x) = 0 #

To je, če: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

Od # e ^ x> 0 za vse x v RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 ali -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Pravilo izdelka

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Tudi od takrat # e ^ x> 0 # preizkusiti moramo le znak # (x ^ 2 + 6x + 7) #

na naših ekstremnih točkah ugotovimo, ali je točka najvišja ali najmanjša.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # je minimalna

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # je največja

Glede na graf #f (x) # spodaj je jasno, da #f (-3) # je lokalni maksimum in. t #f (-1) # je absolutni minimum.

graf {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788, 2.005, -0.658, 3.24}

Nazadnje, vrednotenje točk ekstremov:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

in

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0,199 #