Funkcionalna nadaljevalna frakcija (FCF) eksponentnega razreda je definirana z a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) , a> 0. Kako ste dokazali, da je e_ (cf) (0.1; 1) = 1.880789470, približno 0,880789470?

Odgovor:

Oglejte si razlago …

Pojasnilo:

Let #t = a_ (cf) (x; b) #

Nato:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b)) = a ^ (x + b / t) #

Z drugimi besedami, # t # je fiksna točka preslikave:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Upoštevajte, da je to samo # t # je fiksna točka #F (t) # to ne zadošča #t = a_ (cf) (x; b) #. Morda so nestabilne in stabilne fiksne točke.

Na primer, #2016^(1/2016)# je fiksna točka #x -> x ^ x #, vendar ni rešitev # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Ni rešitve).

Vendar pa razmislite #a = e #, #x = 0,1 #, #b = 1.0 # in #t = 1.880789470 #

Nato:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #

# ~ ~ e ^ (0.1 + 0.5316916199) #

# = e ^ 0,6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~~ t #

Torej ta vrednost # t # je zelo blizu fiksni točki. t #F_ (a, b, x) #

Da bi dokazali, da je stabilen, upoštevajte, da je derivat blizu # t #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0,1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) #

Torej najdemo:

#F '_ (e, 1,0,1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0,5316916199 #

Ker je to negativno in absolutne vrednosti manj kot. T #1#, fiksno točko na # t # stabilen.

Upoštevajte tudi, da za katero koli ničelno realno vrednost # s # imamo:

#F '_ (e, 1,0,1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #

To je #F_ (e, 1,0,1) (s) # se strogo monotono zmanjšuje.

Zato # t # je edinstvena stabilna fiksna točka.

Odgovor:

Pogodbeno vedenje.

Pojasnilo:

S #a = e # in #x = x_0 # ponovitev sledi kot

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # in tudi

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

Raziščimo pogoje za krčenje operaterja iteracije.

Povleči obe strani

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

vendar v prvem približevanju

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

ali

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} pribl. -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #

Da imamo krčenje, ki ga potrebujemo

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

To se doseže, če

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Predpostavimo #b> 0 # in #k = 1 # imamo.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

Tako dano # x_0 # in # b # to razmerje nam omogoča, da najdemo začetno iteracijo pri kontraktivnem obnašanju.