Kako rešim 2sinx = cos (x / 3)?

Odgovor:

Naše približne rešitve so:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, ali -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

za celo število # k #.

Pojasnilo:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

To je zelo težko.

Začnimo z nastavitvijo # y = x / 3 # tako # x = 3y # in zamenjavo. Potem lahko uporabimo formulo trojnega kota:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Počakajmo tako, da bomo vse pisali # sin ^ 2 y #. To bo verjetno povzročilo tuje korenine.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Let # s = sin ^ 2 y #. Kličejo se kvadratni sinusi namazi v Rational Trigonometry.

# 4 s (3 - 4 s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

To je kubična enačba s tremi resničnimi koreninami, kandidati za kvadratne sine # 3x. # Lahko bi uporabili kubično formulo, toda to bo samo pripeljalo do nekaterih kockastih korenin kompleksnih števil, ki niso še posebej koristne. Vzemimo samo numerično rešitev:

# s 0.66035 ali s 0.029196 ali s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Delo v stopinjah. Naše potencialne približne rešitve so:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) približno 163.058 ^ circ ali 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) približno 29.5149 ^ kroga ali 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) približno 192.573 ^ circ ali pm 732.573 ^ circ #

Poglejmo, če kaj od tega dela. Let #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) približno 0.00001 quad # to je rešitev.

#e (-163.058 ^ krog) približno -1,17 quad # ne rešitev.

Jasno je največ eno od # par bo deloval.

Še deset še.

#e (703.058 ^ circ) približno 0,00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # ne

#e (29.5149 ^ circ) približno 10 ^ {- 6} kvadrata kvadratov #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # ne

#e (569,51 ^ krog) približno 10 ^ {- 4} kvadrata #

#e (-569,51 ^ circ) quad # ne

#e (192.573) krog) približno -8.7 quad # ne

#e (-192,573) krog) približno 0,00001 kvadrata #

#e (732.573 ^ circ) približno -8.7 quad # ne

#e (-732.573) krog) približno 0,00001 kvadrata #

Arcsin prihaja z # + 360 ^ krog k #in trije dejavnik # 1080 ^ krog k.

V redu, naše približne rešitve so:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # za celo število # k #.