Kako to razširiti v Maclaurinovi seriji? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

Odgovor:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n) +1) ^ 2 #

Vizualno: oglejte si ta graf

Pojasnilo:

Jasno je, da tega integrala ne moremo ovrednotiti, saj uporablja katero od rednih tehnik povezovanja, ki smo se jih naučili. Ker pa gre za določen integral, lahko uporabimo serijo MacLaurin in naredimo tisto, kar imenujemo pojem integracije.

Moramo najti serijo MacLaurin. Ker ne želimo najti n-tega izpeljanca te funkcije, bomo morali poskusiti in ga umestiti v eno od serij MacLaurin, ki jih že poznamo.

Prvič, ne maramo # log #; želimo, da bi a # ln #. V ta namen lahko preprosto uporabimo spremembo osnovne formule:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Torej imamo:

# int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt #

Zakaj to počnemo? No, zdaj to opazite # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Zakaj je to tako posebno? No, # 1 / (1-x) # je ena izmed najpogosteje uporabljenih serij MacLaurin:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…za vse # x # na #(-1, 1#

Torej lahko uporabimo ta odnos v našo korist in ga nadomestimo #ln (1-t) # z # int-1 / (1-t) dt #, ki nam to omogoča # ln # s serijo MacLaurin. Sestavljanje tega skupaj:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Vrednotenje integrala:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Preklicati # t # izraz v imenovalcu:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

Zdaj pa vzamemo določen integralni problem, s katerim smo začeli:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Opomba: Opazujte, kako nam v tej težavi ni treba skrbeti, da bomo delili z ničlo, kar je problem, ki bi ga imeli v prvotnem integrandu zaradi # t # izraz v imenovalcu. Ker je bilo to preklicano v prejšnjem koraku, kaže, da je diskontinuiteta odstranljiva, kar je dobro za nas.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # ovrednotena od #0# do # x #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Prepričajte se, da se zavedate, da je ta serija dobra le v intervalu #(1, 1#, ker smo uporabili zgoraj omenjeno serijo MacLaurin, je ta interval le konvergenten. Oglejte si ta graf, ki sem ga naredil, da bi bolje razumeli, kako to izgleda.

Upam, da je to pomagalo:)