U_1, u_2, u_3, ... so v geometrijski progresiji (GP). Skupno razmerje izrazov v seriji je K.Now določimo vsoto nizov u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) v obliki K in u_1?

Odgovor:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Pojasnilo:

Splošni izraz geometrijske progresije je lahko napisan:

#a_k = a r ^ (k-1) #

kje # a # je začetni izraz in # r # skupno razmerje.

Znesek na # n # izrazi so podani s formulo:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (bela) () #

Z informacijami, podanimi v vprašanju, splošna formula za # u_k # lahko napišete:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Upoštevajte, da:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Torej:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#barva (bela) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#barva (bela) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # kje # a = u_1 ^ 2K # in #r = K ^ 2 #

#barva (bela) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#barva (bela) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #