Dokaži: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Dokazati # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Let # cos ^ -1x = theta #

# => x = costheta #

Zdaj # LHS = 3ta #

# = cos ^ -1cos (3theta) #

# = cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Pokaži

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Včasih je trigonomija manjša pri matematiki in bolj pri prepoznavanju matematike, ko jo vidimo. Tukaj prepoznamo # 4x ^ 3 -3x # kot kosinusna trojna kotna formula, # cos (3 theta) # kdaj # x = cos.

Factoid: # 4x ^ 3-3x # imenujemo tudi # T_3 (x) #, tretji Chebyshev polinom prve vrste. Na splošno, cos (nx) = T_n (cos x).

Predvidevali bomo # arccos # se nanaša na vrednost glavnice. Raje kličem naročnika #text {Arc} besedilo {cos} # ampak to je težje tipkati.

Dovolj ozadja. Ko prepoznamo formulo s trojnim kotom, je dokaz lahek.

Dokaz:

Let #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #