Odgovor:
# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #
Pojasnilo:
Področje je rešitev tega sistema:
# {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #
Na tej ploskvi je to skicirano:
Formula za volumen trdne rotacije osi x je:
# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.
Da bi uporabili formulo, bi morali prevesti polovico lune na osi x, območje se ne bo spremenilo in zato ne bo spremenilo niti obsega:
# y = -x ^ 2 + 2x + 3barva (rdeča) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #
# y = 3barva (rdeča) (- 3) = 0 #
Tako dobimo #f (z) = - z ^ 2 + 2z #.
Prevedeno območje je prikazano tukaj:
Ampak kateri so a in b integral? Rešitve sistema:
# {(y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #
Torej # a = 0 in b = 2 #.
Ponovno napišite in rešite integral:
# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #
# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #
# V = pi * z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) #
# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #
In ta "limona" je dobljena trdna snov:
