Tri palice z maso M in dolžino L so združene, da tvorijo enakostranični trikotnik. Kakšen je trenutek vztrajnosti sistema okoli osi, ki prehaja skozi njegovo središče mase in pravokotno na ravnino trikotnika?

Odgovor:

# 1/2 ML ^ 2 #

Pojasnilo:

Vztrajnostni moment posamezne palice okoli osi, ki poteka skozi njeno središče in pravokotno nanj, je

# 1/12 ML ^ 2 #

Na vsaki strani enakostraničnega trikotnika okoli osi, ki poteka skozi središče trikotnika in pravokotno na njeno ravnino, je

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(s pomočjo vzporednega osi).

Tedaj je vztrajnostni trikotnik okoli te osi

# 3 krat 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Ob predpostavki, da so palice tanke, je središče mase vsake palice v središču palice. Ko palice tvorijo enakostranični trikotnik, bo središče mase sistema na srednjem delu trikotnika.

Let # d # razdalja centroida od katere koli strani.

# d / (L / 2) = tan30 #

# => d = L / 2tan30 #

# => d = L / (2sqrt3) # …..(1)

Vztrajnostni moment posamezne palice okoli osi, ki poteka skozi središče, pravokotno na ravnino trikotnika s pomočjo vzporedne osi terorma, je

#I_ "rod" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

Obstajajo tri podobno nameščene palice, zato bi bil skupni vztrajnostni moment treh palic

#I_ "sistem" = 3 (I_ "cm" + Md ^ 2) #

# => I_ "sistem" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

Drugi izraz z uporabo (1) je

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Kot vztrajnostni moment ene palice okoli njenega središča mase je

#I_ "cm" = 1 / 12ML ^ 2 #

Prvi izraz v (2) postane

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12ML ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

Z uporabo (3) in (4) postane enačba (2)

#I_ "sistem" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 t