Kaj je derivat f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Postopek:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Najprej bomo ponovno napisali enačbo v obliki, s katero je lažje delati.

Vzemite kosekant na obeh straneh:

2.) #csc y = x #

Ponovno napišite v smislu sine:

3.) # 1 / siny = x #

Rešite za # y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Zdaj pa bi bilo lažje vzeti izpeljanko. Zdaj je samo stvar pravila verige.

To vemo # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alfa ^ 2) # (tukaj je dokaz te identitete)

Torej, vzemite izpeljanko zunanje funkcije, nato pomnožite z izpeljanko od # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Izpelj iz # 1 / x # je enako kot izpeljani iz #x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Poenostavitev 8. nam daje:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Da bi bila izjava nekoliko lepša, lahko prinesemo kvadrat # x ^ 2 # znotraj radikala, čeprav to ni potrebno:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Poenostavitev donosov:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

In naš odgovor je. Zapomnite si, da so težave z izvedenimi sredstvi, ki vključujejo inverzne trigonomske funkcije, večinoma vaja v vašem poznavanju trigonomskih identitet. Uporabite jih, da razdelite funkcijo v obliko, ki jo je enostavno razlikovati.