Razlikujte in poenostavite prosim pomoč?

Odgovor:

# x ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Pojasnilo:

Express # x ^ tanx # kot moč e:

# x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = d / dxe ^ (lnxtanx) #

Uporaba pravila verige, # d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), # kje # u = lnxtanx # in # d / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) #

Express # e ^ (lnxtanx) # kot moč x:

# e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx #

# = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) #

Uporabite pravilo izdelka, # d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx) #, kje # u = lnx # in # v = tanx #

# = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx #

Izvod iz # tanx # je # sec ^ 2x #

# = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (lnx)) tanx) #

Izpelj iz # lnx # je # 1 / x #

# = x ^ tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Odgovor:

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) x ^ tan (x) #

Pojasnilo:

Uporabili bomo logaritemsko diferenciacijo - to pomeni, da bomo vzeli naravni dnevnik obeh strani in implicitno razlikovali w.r.t # x #

Glede na: # y = x ^ tan (x) #

Vzemite naravni dnevnik (# ln #) obeh strani:

#ln (y) = ln (x ^ tan (x)) #

Uporaba pravil moči naravnega hloda #ln (a) ^ b = b * ln (a) #

#ln (y) = tan (x) * ln (x) #

Razlikujte obe strani implicitno w.r.t # x #

# 1 / y * dy / dx = barva (modra) (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) # (Glej delo spodaj)

Da bi razlikovali RHS, bomo morali uporabiti pravilo o izdelku!

Imamo # d / dx tan (x) * ln (x) #

Let #f (x) = tan (x) # in #g (x) = ln (x) #

Tako #f '(x) = sek ^ 2 (x) # in #g '(x) = 1 / x #

Po pravilu izdelka: # d / dx f (x) * g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g (x) #

Zamenjava dobimo:

# d / dx tan (x) * ln (x) = sek ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) * 1 / x #

Poenostavitev …

# d / dx tan (x) * ln (x) = sek ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) / x #

Nazaj na tisto, kar smo imeli prej:

# 1 / y * dy / dx = sek ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x #

Želimo se izolirati # dy / dx # tako pomnožimo obe strani z # y #

#cancelcolor (rdeča) y * 1 / cancely * dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * barva (rdeča) y #

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * barva (rdeča) y #

Želimo pisati vse v smislu # x # ampak imamo to #color (rdeča) y # na način. Lahko se spomnite tega #color (rdeča) y # nam je dana na samem začetku. #barva (rdeča) (y = x ^ tan (x)) #

#:. dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * x ^ tan (x) #