Na vrhu štirih pravokotnih sten višine h. Pri gradnji te konstrukcije imamo 200 pm ^ 2 plastične folije. Kakšna je vrednost r, ki omogoča maksimalno prostornino?

Odgovor:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Pojasnilo:

Naj ponovim vprašanje, kot ga razumem.

Če je površina tega objekta # 200pi #, povečajte glasnost.

Načrt

Če poznamo površino, lahko predstavljamo višino # h # kot funkcija polmera # r #, potem lahko predstavimo volumen kot funkcijo samo enega parametra - polmera # r #.

To funkcijo je treba maksimirati z uporabo # r # kot parameter. To daje vrednost # r #.

Površina vsebuje:

4 stene, ki tvorijo stransko površino paralelepipeda z obodom podnožja # 6r # in višino # h #, ki imajo skupno površino. t # 6rh #.

1 streha, polovica stranske površine valja s polmerom # r # in višina # r #, ki ima območje #pi r ^ 2 #

2 strani strehe, polkrogi polmera # r #, katerih skupna površina je. t #pi r ^ 2 #.

Rezultat je skupna površina objekta

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Vedeti, da je to enako # 200pi #, lahko izrazimo # h # v smislu # r #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Volumen tega predmeta ima dva dela: Pod streho in znotraj strehe.

Pod streho imamo paralelepiped s površino baze # 2r ^ 2 # in višino # h #, to je njen volumen

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

V strehi imamo pol valja s polmerom # r # in višino # r #, njegov volumen je

# V_2 = 1 / 2pip ^ 3 #

Funkcijo moramo povečati

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

ki izgleda takole (ne v merilu)

graf {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Ta funkcija doseže svoj maksimum, ko je izpeljana vrednost enaka nič za pozitivni argument.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

Na območju #r> 0 # enaka nič # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

To je polmer, ki daje največjo prostornino glede na površino in obliko predmeta.