Voda, ki uhaja na tla, tvori krožni bazen. Polmer bazena se poveča s hitrostjo 4 cm / min. Kako hitro se območje bazena poveča, ko je polmer 5 cm?

Odgovor:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ min" #

Pojasnilo:

Najprej moramo začeti z enačbo, ki jo poznamo, ki se nanaša na območje kroga, bazen in njegov polmer:

# A = pir ^ 2 #

Vendar pa želimo videti, kako hitro se območje bazena povečuje, kar zveni kot stopnja … kar zveni zelo podobno kot derivat.

Če vzamemo izpeljanko iz # A = pir ^ 2 # glede na čas, # t #, vidimo, da:

# (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #

(Ne pozabite, da se pravilo verige uporablja na desni strani, z # r ^ 2 #- to je podobno implicitni diferenciaciji.)

Torej, želimo ugotoviti # (dA) / dt #. To vprašanje nam je povedalo # (dr) / dt = 4 # ko je dejal, "se polmer bazena poveča s hitrostjo #4# cm / min, "in vemo tudi, da želimo najti # (dA) / dt # kdaj # r = 5 #. Če vstavimo te vrednosti, vidimo, da:

# (dA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

V besedo rečemo, da:

Območje bazena narašča s stopnjo # bb40pi # cm# "" ^ bb2 #/ min, kadar je polmer kroga # bb5 # cm.

Družina Goode je v svojem dvorišču zgradila pravokotni bazen. Nadstropje bazena ima površino 485 5/8 kvadratnih metrov. Če je širina bazena 18 1/2 čevljev, kakšna je dolžina bazena?

Dolžina bazena je 26 1/4 ft. Površina pravokotnika dolžine (x) in širine (y) je A = x * y; A = 485 5/8 = 3885/8 sq.ft, y = 18 1/2 = 37/2 ft:. x = A / y ali x = (3885/8) - :( 37/2) ali x = 3885/8 * 2/37 ali x = 105/4 = 26 1/4 ft. Dolžina bazena je 26 1 / 4 ft.

Voda izteka iz obrnjenega stožčastega rezervoarja s hitrostjo 10.000 cm3 / min, hkrati pa se v rezervoar črpa voda s konstantno hitrostjo. Če je rezervoar višine 6 m in je premer na vrhu 4 m in če se nivo vode dvigne s hitrostjo 20 cm / min, ko je višina vode 2 m, kako najdete hitrost, po kateri se voda črpa v rezervoar?

Naj bo V prostornina vode v rezervoarju, v cm ^ 3; naj bo h globina / višina vode, v cm; in naj bo r polmer površine vode (na vrhu), v cm. Ker je rezervoar obrnjen stožec, je tudi masa vode. Ker ima rezervoar višino 6 m in polmer na vrhu 2 m, podobni trikotniki pomenijo, da frac {h} {r} = frak {6} {2} = 3, tako da je h = 3r. Prostornina obrnjenega stožca vode je potem V = frak {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Zdaj razlikujte obe strani glede na čas t (v minutah), da dobite frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (v tem se uporablja pravilo verig) korak). Če je V_ {i} prostornina vode, ki je bila prečrpana, pote

Razlitje nafte iz razpokanega tankerja se razprostira v krogu na površini oceana. Območje razlitja se poveča s hitrostjo 9π m² / min. Kako hitro se polmer razlitja poveča, ko je polmer 10 m?

Dr | _ (r = 10) = 0,45m / min. Ker je območje kroga A = pi r ^ 2, lahko vzamemo diferencial na vsaki strani, da dobimo: dA = 2pirdr Zato se radij spremeni s hitrostjo dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir). ) Tako je dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0.45m / min.