Odgovor:
# x = arctan (-3) + 180 ^ Circ k ali x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # za celo število # k. #
Pojasnilo:
To sem delal na dva različna načina, vendar mislim, da je ta tretja pot najboljša. Za kosinus je na voljo več formul za dvojni kot. Naj nas nobeden od njih ne bo skušal. Izogibajmo se tudi kvadratiziranju enačb.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
Linearna kombinacija kosinusa in sinusa je kosinus, ki se premika po fazi.
Let # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # in
# theta = text {Arc} besedilo {tan} (2/1) #
Pokazal sem glavno inverzno tangento, tukaj v prvem kvadrantu, okoli # theta = 63.4 ^ circ #. Zagotovljeni smo
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Tako lahko ponovno napišemo našo enačbo
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (- theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Vedno se spomnite splošne rešitve #cos x = cos a # je # x = pm a + 360 ^ Circ # quad # za celo število # k #.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
Sprejemanje znakov naenkrat, # x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ ali x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # je konstanta, lahko poskušamo dobiti boljši izraz za:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ)
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3
Vemo # phi # v drugem kvadrantu, ne v običajnem razponu glavne vrednosti.
#phi = besedilo {Arc} besedilo {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Izkazalo se je, da ni pomembno, ker dodajamo # 180 ^ krog k # do # phi # v splošni rešitvi. Vse skupaj, # x = arctan (-3) + 180 ^ Circ k ali x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Ne moramo biti natančni glede glavne vrednosti arctana; odkar smo dodali # 180 ^ krog k # vsaka vrednost. Lahko napišemo prvo # x = arctan (-3) # z # 180 ^ krog k # implicitno, vendar jo pustimo tukaj.
