Če zavrtite eno kocko, kakšno je pričakovano število zvitkov, ki jih potrebujete za enkratno zvijanje vsake številke?

Odgovor:

# 14.7 "zvitki" #

Pojasnilo:

#P "vse vnesene številke" = 1 - P "1,2,3,4,5 ali 6 ni vrženo" #

#P "A ali B ali C ali D ali E ali F" = P A + P B + … + P F - #

#P A in B - P A in C …. + P A in B in C + … #

# "Tukaj je to" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Negativno to je naša verjetnost."

#sum n * a ^ (n-1) = vsota (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) vsota a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = vsota n * P "vse številke, ki so bile vrnjene po n metih" #

# = vsota n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Moramo odšteti eno zaradi začetnega pogoja P_1 (0)" #

# "daje napačno vrednost P = 1 za n = 1." #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Odgovor:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Pojasnilo:

Pomislite na to kot na šest mini iger. Za vsako igro zavrtimo kocko, dokler ne zavrtimo številke, ki še niso bile zvite - kar bomo imenovali "zmaga". Potem začnemo naslednjo igro.

Let # X # je število zvitkov, potrebnih za zvijanje vsakega števila vsaj enkrat (t.j. zmagati vseh 6 mini-iger), in pustiti # X_i # je število zvitkov, potrebnih za "zmagovalno" številko mini igre #jaz# (za #jaz# od 1 do 6). Potem vsak # X_i # je geometrijska naključna spremenljivka z distribucijo # "Geo" (p_i) #.

Pričakovana vrednost vsake geometrijske naključne spremenljivke je # 1 / p_i #.

Za prvo igro, # p_1 = 6/6 # ker je vseh 6 rezultatov "novih". Tako # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Za drugo igro je 5 od 6 rezultatov novih, torej # p_2 = 5/6 #. Tako # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Za tretjo igro so 4 od 6 možnih zvitkov nove, tako da # p_3 = 4/6 #, kar pomeni # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

Na tej točki lahko vidimo vzorec. Ker se število "zmagovalnih" zvitkov zmanjša za 1 za vsako novo igro, se verjetnost "zmagovanja" vsake igre zniža iz #6/6# do #5/6#, potem #4/6#, itd., kar pomeni pričakovano število zvitkov na igro #6/6# do #6/5#, do #6/4#, in tako naprej, do zadnje igre, kjer pričakujemo, da bo trajalo 6 zvitkov za zadnjo številko.

Tako:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#barva (bela) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#barva (bela) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#barva (bela) ("E" (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

#barva (bela) ("E" (X)) = 14,7 #