Kaj je ortocenter trikotnika s koti (9, 5), (3, 8) in (5, 6)?

Odgovor:

Koraki: (1) poiščite pobočja dveh strani, (2) poiščite nagibe linij pravokotno na te strani, (3) poiščite enačbe linij s tistimi pobočji, ki gredo skozi nasprotna vozlišča, (4) poiščite kjer se te črte sekajo, kar je pravzaprav ortocenter #(6.67, 2.67)#.

Pojasnilo:

Da bi našli ortocenter trikotnika, najdemo nagibe (gradiente) dveh njegovih strani, nato enačbe linij, pravokotnih na te strani.

Lahko uporabimo ta pobočja in koordinate točke nasproti ustrezni strani, da bi našli enačbe linij pravokotno na stranice, ki gredo skozi nasprotni kot: ti se imenujejo "višine" za stranice.

Kjer je višina dveh stranic križa ortocenter (višina za tretjo stran bi prav tako šla skozi to točko).

Označimo naše točke, da jih bomo lažje označili:

Točka A = #(9, 5)#

Točka B = #(3, 8)#

Točka C = #(5, 6)#

Za iskanje naklona uporabite formulo:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Vendar teh pobočij ne želimo, temveč pobočja linij, ki so pravokotne (pod pravim kotom) do njih. Črta, ki je pravokotna na črto z naklonom # m # ima naklon # -1 / m #, tako da je črta pravokotna na # AB # ima naklon #-2# in črta pravokotna na # BC # ima naklon #1#.

Zdaj lahko najdemo enačbe višin točke C (nasproti AB) in točke A (nasproti BC) oziroma z nadomestitvijo koordinat teh točk v enačbo.

# y = mx + c #

Za točko C je višina:

# 6 = -2 (5) + c # ki daje # c = 6 + 10 = 16 # zato #y = -2x + 16 #

Podobno za točko A:

# 5 = 1 (9) + c # ki daje # c = 5-9 = -4 # tako je enačba:

# y = x-4 #

Da bi našli ortocenter, moramo preprosto najti točko, kjer se ti dve črti križata. Lahko jih enačimo:

# -2x + 16 = x-4 #

Preurejanje, # 3x = 20 do x ~ 6,67 #

Namestite v eno ali drugo enačbo, da najdete # y # vrednost, ki je #2.67#.

Zato je točka orthocenter #(6.67, 2.67)#.