Kako to integriram?

Odgovor:

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C #

Pojasnilo:

Želimo rešiti

# I = int2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx #

Poskusimo bolj splošen problem

# I_1 = inte ^ (ax) cos (bx) dx #

Kje iščemo rešitev

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Trik je dvakratna uporaba integracije po delih

# intudv = uv-intvdu #

Let # u = e ^ (sekira) # in # dv = cos (bx) dx #

Potem pa # du = ae ^ (ax) dx # in # v = 1 / bsin (bx) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) -a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Integracijo po delih uporabite za preostali integral

# I_2 = a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Let # u = e ^ (sekira) # in # dv = sin (bx) dx #

Potem pa # du = ae ^ (ax) dx # in # v = -1 / bcos (bx) #

# I_2 = a / b (-1 / be ^ (ax) cos (bx) + a / binte ^ (ax) cos (bx) dx) #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2inte ^ (ax) cos (bx) dx #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

Zamenjajte to z originalnim integralom in rešite za # I_1 #, Malo je dolgo, toda vzamemo ga korak za korakom

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) - (- a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) -a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

# I_1 + a ^ 2 / b ^ 2I_1 = 1 / be ^ (sekira) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (aks) cos (bx) + C #

# (a ^ 2 + b ^ 2) / b ^ 2I_1 = 1 / be ^ (sekira) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (aks) cos (bx) + C #

# I_1 = b ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) (1 / je ^ (sekira) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (aks) cos (bx)) + C #

# I_1 = 1 / (a ^ 2 + b ^ 2) (biti ^ (sekira) sin (bx) + ae ^ (aks) cos (bx)) + C #

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Za vašo težavo # a = ln (2) # in # b = 3 #

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 9) + C #

Upajmo, da ni veliko napak

Glej odgovor spodaj: rešili smo z diskretnimi elementi namesto splošne formulacije in končnega rezultata nismo poenostavili, kot sledi: