Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = xy (1-x-y)?

Odgovor:

Točke #(0,0),(1,0)#, in #(0,1)# so sedla. Točka #(1/3,1/3)# je lokalna največja točka.

Pojasnilo:

Lahko se razširimo # f # do #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Nato poiščite delne derivate in jih nastavite na nič.

frac {delno f} {delno x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

frac {delno f} {delno y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Jasno je, # (x, y) = (0,0), (1,0), # in #(0,1)# so rešitve za ta sistem in tudi kritične točke # f #. Druga rešitev je mogoče najti iz sistema # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Rešitev prve enačbe za # y # v smislu # x # daje # y = 1-2x #, ki ga lahko priključite na drugo enačbo # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Od tega, # y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # prav tako.

Za preverjanje narave teh kritičnih točk najdemo druge derivate:

frac {delno ^ {2} f} {delno x ^ {2}} = - 2y #, frac {delno ^ {2} f} {delno y ^ {2}} = - 2x #, in # frac {delno ^ {2} f} {delno x delno y} = frac {delno ^ {2} f} {delno y delno x} = 1-2x-2y #.

Diskriminant je torej:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Priključitev prvih treh kritičnih točk v:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, in #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, kar naredi te točke sedla.

Vključuje se zadnja kritična točka #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Upoštevajte tudi to frac {delno ^ {2} f} {delno x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Zato, #(1/3,1/3)# je lokalna največja vrednost # f #. Preverite lahko, ali je lokalna največja vrednost sama #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Spodaj je slika konturnega zemljevida (ravni krivulj) # f # (krivulje, na katerih je izhod. t # f # je konstantna), skupaj s 4 kritičnimi točkami # f #.

Kakšni so ekstremi in sedeži f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Domena definicije: f (x) = 2x ^ 2lnx je interval x v (0, + oo). Ocenite prvi in drugi derivat funkcije: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritične točke so rešitve: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 in kot x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) V tej točki: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, tako da je kritična točka lokalni minimum. Sedežne točke so rešitve: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 in ker je f '' (x) monotono, lahko sklepamo, da f (x) ) je konkavna navzdol za x <1 / e ^

Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Ta funkcija nima stacionarnih točk (ali ste prepričani, da je f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x, ki ste jo želeli študirati ?!). Glede na najbolj razpršeno definicijo sedlastih točk (stacionarne točke, ki niso ekstremi) iščemo stacionarne točke funkcije v njeni domeni D = (x, y) v RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0) , y) v RR ^ 2}. Zdaj lahko prepišemo izraz, podan za f, na naslednji način: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Način, kako jih prepoznati, je iskanje točk, ki izničijo gradient f, ki je vektor delnih derivatov: nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) Ker je domena odprti niz, ni potrebno iskati z

Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

{: ("Kritična točka", "Zaključek"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sedlo"), ((-1,2), "sedlo" ), ((-5 / 3,0), "max"): Teorija za identifikacijo ekstremov z = f (x, y) je: Reševanje hkrati kritičnih enačb (delno f) / (delno x) = (delno f) / (delno y) = 0 (tj. z_x = z_y = 0) Ocenite f_ (xx), f_ (yy) in f_ (xy) (= f_ (yx)) na vsaki od teh kritičnih točk . Zato ocenite Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 na vsaki od teh točk. Določite naravo ekstremov; {: (Delta> 0, "Najmanjši je" f_ (xx) <0), (, "in maksimum če" f_ (yy)> 0), (Delta <0, &